2 Sejam A, B e C subconjuntos de um conjunto universo U. Das afirmações:
I .(A-B)-C=A-(A \cap(B \cup C)) ;
II. (A-B) \cap C=A \cup(B \cap C);
I I I .(A \cup B) \cap(A \cup C)=A \cup(B \cap C);
é (são) sempre verdadeira(s) apenas
a) I
b) II
c) III
d) I e III
e) II e III

Passo 1

O enunciado apresenta três expressões envolvendo operações com conjuntos A, B e C no universo U e pede quais delas são sempre verdadeiras. Vamos usar as definições de diferença A - B = A \cap B^c, as leis de De Morgan e a distributividade de união e interseção.

Passo 2

Analisamos a afirmação I:
(A - B) - C = (A \cap B^c) \cap C^c = A \cap B^c \cap C^c = A \cap (B \cup C)^c = A - (B \cup C).
Do outro lado,
A - (A \cap (B \cup C)) = A \cap \bigl(A \cap (B \cup C)\bigr)^c = A \cap \bigl(A^c \cup (B \cup C)^c\bigr) = A \cap (B \cup C)^c,
logo as duas expressões coincidem, e I é sempre verdadeira.

Passo 3

Analisamos a afirmação II:
(A - B) \cap C = (A \cap B^c) \cap C = A \cap (B^c \cap C).
A \cup (B \cap C)
contém todos os elementos de A mais aqueles em B\cap C. Em geral não é igual a A\cap(B^c\cap C). Por exemplo, se x\in B\cap C mas x\notin A, então x pertence a A\cup(B\cap C) mas não a (A-B)\cap C. Logo II falha.

Passo 4

Analisamos a afirmação III. Aplicando a distributividade de união sobre interseção:
(A \cup B) \cap (A \cup C) = A \cup (B \cap C).
Essa é uma identidade clássica e vale para quaisquer conjuntos A, B e C. Portanto III é sempre verdadeira.

Resposta

As únicas afirmações sempre verdadeiras são I e III, isto é, alternativa (d).

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