3 Sobre números reais, classifique como verdadeiro ou falso:
( ) Se m e n são inteiros então \frac{m}{n} é um número irracional.
( ) Se x é um número racional, então x \sqrt{2} é um número irracional.
( ) Se a é um número racional então ele também é inteiro e natural.
( ) Se a é um número irracional então ele também é inteiro e natural.

Passo 1

O enunciado pede para classificar como verdadeiro (V) ou falso (F) as quatro afirmações sobre números reais envolvendo números inteiros \mathbb{Z}, naturais \mathbb{N}, racionais \mathbb{Q} e irracionais \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}. Vamos usar exemplos e definições:
  • Um número é racional se pode ser escrito como \tfrac{p}{q} com p,q\in\mathbb{Z} e q\neq0.
  • Um número é irracional se não é racional.
  • \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}.

Passo 2

Afirmação 1: “Se m e n são inteiros então \tfrac{m}{n} é um número irracional.”
Pela definição, \tfrac{m}{n} é um número racional (desde que n\neq0). Para contradizer a afirmação basta um exemplo: tome m=1 e n=2; então
\frac{1}{2}
é racional. Logo a afirmação é falsa.

Passo 3

Afirmação 2: “Se x é um número racional, então x\sqrt{2} é um número irracional.”
Embora seja verdade que qualquer racional não nulo vezes \sqrt{2} é irracional, se x=0 (que é racional) temos
0\cdot\sqrt{2}=0,
que é racional. Logo a afirmação “para todo x\in\mathbb{Q}” falha em x=0. Portanto é falsa.

Passo 4

Afirmação 3: “Se a é um número racional então ele também é inteiro e natural.”
Existem racionais que não são inteiros nem naturais, por exemplo
a=\tfrac12\in\mathbb{Q},
mas \tfrac12\notin\mathbb{Z} e nem em \mathbb{N}. Logo a afirmação é falsa.

Passo 5

Afirmação 4: “Se a é um número irracional então ele também é inteiro e natural.”
Nenhum inteiro ou natural é irracional, pois \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}. Por exemplo a=\sqrt{2} é irracional, mas não pertence a \mathbb{Z} nem a \mathbb{N}. Logo é falsa.

Resposta

(F) Se m e n são inteiros então \tfrac{m}{n} é irracional.
(F) Se x é racional então x\sqrt{2} é irracional.
(F) Se a é racional então é inteiro e natural.
(F) Se a é irracional então é inteiro e natural.

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