3 Sobre números reais, classifique como verdadeiro ou falso:
( ) Se
e
são inteiros então
é um número irracional.
( ) Se
é um número racional, então
é um número irracional.
( ) Se
é um número racional então ele também é inteiro e natural.
( ) Se
é um número irracional então ele também é inteiro e natural.
( ) Se
( ) Se
( ) Se
( ) Se
Passo 1
O enunciado pede para classificar como verdadeiro (V) ou falso (F) as quatro afirmações sobre números reais envolvendo números inteiros
, naturais
, racionais
e irracionais
. Vamos usar exemplos e definições:
- Um número é racional se pode ser escrito como
com e . - Um número é irracional se não é racional.
-
.
Passo 2
Afirmação 1: “Se
e
são inteiros então
é um número irracional.”
Pela definição, é um número racional (desde que
). Para contradizer a afirmação basta um exemplo: tome
e
; então
Pela definição,
é racional. Logo a afirmação é falsa.
Passo 3
Afirmação 2: “Se
é um número racional, então
é um número irracional.”
Embora seja verdade que qualquer racional não nulo vezes é irracional, se
(que é racional) temos
Embora seja verdade que qualquer racional não nulo vezes
que é racional. Logo a afirmação “para todo
” falha em
. Portanto é falsa.
Passo 4
Afirmação 3: “Se
é um número racional então ele também é inteiro e natural.”
Existem racionais que não são inteiros nem naturais, por exemplo
Existem racionais que não são inteiros nem naturais, por exemplo
mas
e nem em
. Logo a afirmação é falsa.
Passo 5
Afirmação 4: “Se
é um número irracional então ele também é inteiro e natural.”
Nenhum inteiro ou natural é irracional, pois . Por exemplo
é irracional, mas não pertence a
nem a
. Logo é falsa.
Nenhum inteiro ou natural é irracional, pois
Resposta
(F) Se
e
são inteiros então
é irracional.
(F) Se é racional então
é irracional.
(F) Se é racional então é inteiro e natural.
(F) Se é irracional então é inteiro e natural.
(F) Se
(F) Se
(F) Se