Resolva a equação diferencial sujeita às condições dadas.
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=3 \operatorname{sen} x-4 \cos x 😉
(y=7) e (y^{\prime}=2) se (x=0)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de segunda ordem
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = 3\sin x - 4\cos x
com condições iniciais y(0)=7 e y'(0)=2.
O conteúdo aqui é integrar duas vezes a equação para encontrar y(x) e depois ajustar as constantes usando as condições iniciais.

Passo 2

Integramos a segunda derivada para achar a primeira derivada y'(x).
Como
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = 3\sin x - 4\cos x,
temos
y'(x) = \int\bigl(3\sin x - 4\cos x\bigr)\,dx = -3\cos x - 4\sin x + C_{1},
onde C_{1} é constante de integração.

Passo 3

Agora integramos y'(x) para obter y(x).
y(x) = \int\bigl(-3\cos x - 4\sin x + C_{1}\bigr)\,dx = -3\sin x + 4\cos x + C_{1}\,x + C_{2},
onde C_{2} é outra constante de integração.

Passo 4

Aplicamos a condição y'(0)=2.
De
y'(x) = -3\cos x - 4\sin x + C_{1},
segue
y'(0) = -3\cos 0 -4\sin 0 + C_{1} = -3 + C_{1} = 2
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C_{1} = 5.

Passo 5

Aplicamos a condição y(0)=7.
De
y(x) = -3\sin x + 4\cos x + 5x + C_{2},
temos
y(0) = -3\sin 0 + 4\cos 0 + 5\cdot 0 + C_{2} = 4 + C_{2} = 7
portanto
C_{2} = 3.

Passo 6

Substituímos C_{1}=5 e C_{2}=3 na expressão geral de y(x).

Resposta

y(x) = -3\sin x + 4\cos x + 5x + 3.

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