Resolva a equação diferencial t^3 d yd t+4 t^2 y=e^-t, y=y(t).

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
t^3,dydt + 4,t^2,y = e^-t,
para y=y(t). O conteúdo aqui é resolução de equação linear de primeira ordem do tipo
dydt + p(t),y = q(t),
que se resolve usando fator integrante.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão dividindo por t^3 (assumindo tneq0):
dydt + 4t,y = e^-tt^3
Aqui p(t)=4/t e q(t)=e^-t/t^3.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(t) = expl(integral p(t),dtr) = expl(integral 4t,dtr) = exp(4ln|t|) = t^4

Passo 4

Multiplicamos a equação original por mu(t)=t^4:
t^4dydt + 4,t^3,y = t^4cdote^-tt^3 ;Longrightarrow; t^4dydt + 4,t^3,y = t,e^-t
O lado esquerdo é a derivada do produto:
ddtl(t^4,yr) = t,e^-t

Passo 5

Integramos dos dois lados:
t^4,y = integral t,e^-t,dt + C
Fazendo integração por partes com u=t, dv=e^-tdt resulta
integral t,e^-t,dt = -,(t+1),e^-t
Logo
t^4,y = -,(t+1),e^-t + C

Passo 6

Isolando y,
y(t) = -,(t+1),e^-t + Ct^4 = C,t^-4 ;-;(t+1),e^-tt^4

Resposta

y(t) = C - (t+1),e^-tt^4,
onde C é a constante de integração.

Exercícios relacionados