Q9

Aplicar os resultados dos exercícios 7 e 8 para encontrar o maior e o menor valor possível das integrais dadas a seguir:
a) integral3^4 5 x d x
b) integral-2^4 2 x^2 d x
c) integral1^4|x-1| d x
d) integral-1^4(x^4-8 x^2+16) d x

Passo 1

O enunciado pede para comparar quatro integrais definidas
Ia=integral3^45x,dx, Ib=integral-2^42x^2,dx, Ic=integral1^4|x-1|,dx, Id=integral-1^4l(x^4-8x^2+16r),dx
e determinar qual delas é a maior e qual é a menor. Para isso vamos usar
  1. a linearidade da integral (resultado do exercício 7)
  2. a monotonicidade e interpretação geométrica da integral (resultado do exercício 8)
    e calcular cada valor explicitamente.

Passo 2

Calcular Ia usando linearidade e fator constante:
Ia=integral3^45x,dx =5integral3^4x,dx =5l[tfracx^22r]3^4 =5l(tfrac162-tfrac92r) =5cdottfrac72 =tfrac352

Passo 3

Calcular Ib usando novamente fator constante:
Ib=integral-2^42x^2,dx =2integral-2^4x^2,dx =2l[tfracx^33r]-2^4 =2l(tfrac643-tfrac-83r) =2cdottfrac723 =2cdot 24 =48

Passo 4

Calcular Ic. Note que em [1,4] temos x-1>=0, logo |x-1|=x-1. Assim
Ic=integral1^4(x-1),dx =l[tfracx^22-xr]1^4 =l((8-4)-(tfrac12-1)r) =4-l(-tfrac12r) =tfrac92

Passo 5

Calcular Id encontrando a primitiva de cada termo:
integrall(x^4-8x^2+16r),dx =tfracx^55-tfrac8x^33+16x,
portanto
Id =l[tfracx^55-tfrac8x^33+16xr]-1^4 =l(tfrac10245-tfrac5123+64r) -l(-tfrac15+tfrac83-16r)
Colocando tudo sobre 15:
no numerador de x=4:;3072-2560+960=1472, em x=-1:;-3+40-240=-203,
Id=tfrac147215-l(-tfrac20315r) =tfrac167515 =tfrac3353

Passo 6

Agora com os valores
Ia=tfrac352=17,5, Ib=48, Ic=tfrac92=4,5, Id=tfrac3353approx111,67
vemos que o menor valor é Ic=tfrac92 e o maior é Id=tfrac3353.

Resposta

Menor valor: tfrac92
Maior valor: tfrac3353

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