Resolva a equação diferencial usando a Transformada de Laplace:
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial
com
e
.
A tarefa é encontrar explicitamente a função que satisfaz essa equação para
.
A tarefa é encontrar explicitamente a função
Passo 2
Vou usar a transformada de Laplace. Primeiro, recapitulação das propriedades que vou usar (tudo em forma prática para a prova):
- Definição (não preciso calcular integral agora, só uso as propriedades): se
então e Aqui é a transformada de Laplace de e é a variável da transformada. - Transformada do impulso deslocado: para o delta de Dirac vale
- Teorema de translação no tempo (segunda propriedade de deslocamento): se
então onde é a função degrau de Heaviside centrada em .
Essas são as ferramentas; agora aplico a transformada à equação dada.
Passo 3
Faço a transformada de Laplace em ambos os lados de
Usando as fórmulas do passo anterior, com
,
e
, obtenho:
Substituindo os dados iniciais e
, vem
Agrupando
,
Passo 4
Isolo
:
Escrevi
como soma de duas parcelas para inverter termo a termo.
Passo 5
Inverto cada parcela.
- Para a primeira parcela
: eu sei que
(Explicação rápida:
, aplicar linearidade e
dá
.)
Logo a inversa é
.
- Para a segunda parcela
: uso o teorema de translação no tempo. Primeiro observo que
Portanto a inversa de
é
. Aplicando o deslocamento
(aqui com
) temos
Somando as duas partes, obtenho a solução no domínio do tempo:
Passo 6
Verificação rápida e comentário prático (útil na prova):
- Condições iniciais:
e , OK. - Comportamento no ponto
: a solução é contínua em mas a derivada tem salto; calculando temos , que reproduz o efeito do impulso (integrando a equação ao redor de dá esse salto). Isso confirma que a solução é consistente com o termo .
Força aí — você já tem a técnica: aplicar Laplace, usar as fórmulas das derivadas e o deslocamento, inverter termo a termo.