Determine a convolução de
e
.
Passo 1
O enunciado pede: calcular a convolução de
e
.
Informações dadas: as duas funções são e
.
Observação importante (decisão necessária para a resolução): vou calcular a convolução no caso usual de sinais causais (ou seja, assumo que as funções valem zero para ), usando a definição
Informações dadas: as duas funções são
Observação importante (decisão necessária para a resolução): vou calcular a convolução no caso usual de sinais causais (ou seja, assumo que as funções valem zero para
Faço essa escolha porque a convolução bilateral
não converge em valor absoluto como integral própria; o caso causal é o que normalmente aparece em exercícios de análise e sinais e leva a uma resposta elementar.
Passo 2
Relembrando a definição (aula rápida): a convolução de duas funções causais
e
é
Isso significa que para cada
eu “correlaciono” a função
ao longo de
com a função
deslocada e invertida:
. A propriedade que vamos usar já é que a integral é linear, então posso separar constantes e somas dentro da integral.
Passo 3
Escrevo o integral para o caso
e
:
Passo 4
Uso a identidade trigonométrica de diferença de ângulos:
Essa identidade vem direto da fórmula
. Substituindo na integral:
Expandindo:
Passo 5
Pelo caráter linear da integral, separo em duas integrais:
Aqui
e
são constantes em relação à variável de integração
, então saem fora das integrais.
Passo 6
Calculo a primeira integral
. Uso a identidade de redução:
Então
Calculando cada termo:
Portanto
Passo 7
Calculo a segunda integral
. Uso a identidade
Então
Uma forma alternativa e útil é reconhecer que
pois
. Então fica mais simples usar
Passo 8
Volto à expressão da convolução substituindo as integrais:
Agora simplifico usando
:
Logo a expressão fica
Os dois últimos termos são idênticos e com sinais opostos, portanto se cancelam. Restando
Passo 9
Conclusão e interpretação: para sinais causais (assumidos aqui), obtemos
E, por causalidade (as funções valem zero para
), temos
para
. É curioso e elegante que a parte trigonométrica que aparecia na integral cancele completamente, sobrando apenas o fator
.