Determine a convolução de \cos (t) e \sin (t).

Passo 1

O enunciado pede: calcular a convolução de \cos(t) e \sin(t).
Informações dadas: as duas funções são \cos(t) e \sin(t).
Observação importante (decisão necessária para a resolução): vou calcular a convolução no caso usual de sinais causais (ou seja, assumo que as funções valem zero para t<0), usando a definição
(f*g)(t)=\int_{0}^{t} f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau.
Faço essa escolha porque a convolução bilateral \int_{-\infty}^{\infty}\cos(\tau)\sin(t-\tau)\,d\tau não converge em valor absoluto como integral própria; o caso causal é o que normalmente aparece em exercícios de análise e sinais e leva a uma resposta elementar.

Passo 2

Relembrando a definição (aula rápida): a convolução de duas funções causais f e g é
(f*g)(t)=\int_{0}^{t} f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau.
Isso significa que para cada t eu “correlaciono” a função f ao longo de \tau com a função g deslocada e invertida: g(t-\tau). A propriedade que vamos usar já é que a integral é linear, então posso separar constantes e somas dentro da integral.

Passo 3

Escrevo o integral para o caso f(\tau)=\cos(\tau) e g(t-\tau)=\sin(t-\tau):
(\cos*\sin)(t)=\int_{0}^{t} \cos(\tau)\,\sin(t-\tau)\,d\tau.

Passo 4

Uso a identidade trigonométrica de diferença de ângulos:
\sin(t-\tau)=\sin t\cos\tau-\cos t\sin\tau.
Essa identidade vem direto da fórmula \sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b. Substituindo na integral:
\cos(\tau)\sin(t-\tau)=\cos(\tau)\big(\sin t\cos\tau-\cos t\sin\tau\big).
Expandindo:
\cos(\tau)\sin(t-\tau)=\sin t\cos^2\tau-\cos t\cos\tau\sin\tau.

Passo 5

Pelo caráter linear da integral, separo em duas integrais:
(\cos*\sin)(t)=\sin t\int_{0}^{t}\cos^2\tau\,d\tau-\cos t\int_{0}^{t}\cos\tau\sin\tau\,d\tau.
Aqui \sin t e \cos t são constantes em relação à variável de integração \tau, então saem fora das integrais.

Passo 6

Calculo a primeira integral \displaystyle \int_{0}^{t}\cos^2\tau\,d\tau. Uso a identidade de redução:
\cos^2\tau=\frac{1+\cos 2\tau}{2}.
Então
\int_{0}^{t}\cos^2\tau\,d\tau=\int_{0}^{t}\frac{1+\cos 2\tau}{2}\,d\tau =\frac{1}{2}\int_{0}^{t}1\,d\tau+\frac{1}{2}\int_{0}^{t}\cos 2\tau\,d\tau.
Calculando cada termo:
\frac{1}{2}\int_{0}^{t}1\,d\tau=\frac{t}{2},
\frac{1}{2}\int_{0}^{t}\cos 2\tau\,d\tau=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}\sin 2\tau\right]_{0}^{t}=\frac{1}{4}\sin 2t.
Portanto
\int_{0}^{t}\cos^2\tau\,d\tau=\frac{t}{2}+\frac{1}{4}\sin 2t.

Passo 7

Calculo a segunda integral \displaystyle \int_{0}^{t}\cos\tau\sin\tau\,d\tau. Uso a identidade
\cos\tau\sin\tau=\frac{1}{2}\sin 2\tau.
Então
\int_{0}^{t}\cos\tau\sin\tau\,d\tau=\frac{1}{2}\int_{0}^{t}\sin 2\tau\,d\tau =\frac{1}{2}\left[-\frac{1}{2}\cos 2\tau\right]_{0}^{t} =-\frac{1}{4}\cos 2t+\frac{1}{4}.
Uma forma alternativa e útil é reconhecer que
-\frac{1}{4}\cos 2t+\frac{1}{4}=\frac{1}{4}(1-\cos 2t)=\frac{1}{2}\sin^{2}t,
pois 1-\cos 2t=2\sin^{2}t. Então fica mais simples usar
\int_{0}^{t}\cos\tau\sin\tau\,d\tau=\frac{1}{2}\sin^{2}t.

Passo 8

Volto à expressão da convolução substituindo as integrais:
(\cos*\sin)(t)=\sin t\left(\frac{t}{2}+\frac{1}{4}\sin 2t\right)-\cos t\left(\frac{1}{2}\sin^{2}t\right).
Agora simplifico usando \sin 2t=2\sin t\cos t:
\sin t\cdot\frac{1}{4}\sin 2t=\sin t\cdot\frac{1}{4}\cdot 2\sin t\cos t=\frac{1}{2}\sin^{2}t\cos t.
Logo a expressão fica
(\cos*\sin)(t)=\frac{t}{2}\sin t+\frac{1}{2}\sin^{2}t\cos t-\frac{1}{2}\sin^{2}t\cos t.
Os dois últimos termos são idênticos e com sinais opostos, portanto se cancelam. Restando
(\cos*\sin)(t)=\frac{t}{2}\sin t.

Passo 9

Conclusão e interpretação: para sinais causais (assumidos aqui), obtemos
(\cos*\sin)(t)=\frac{t}{2}\sin t\quad\text{para }t\ge 0.
E, por causalidade (as funções valem zero para t<0), temos (\cos*\sin)(t)=0 para t<0. É curioso e elegante que a parte trigonométrica que aparecia na integral cancele completamente, sobrando apenas o fator \tfrac{t}{2}\sin t.

Resposta

(\cos*\sin)(t)=\dfrac{t}{2}\sin t para t\ge 0
(\cos*\sin)(t)=0 para t<0

Exercícios relacionados