Resolva a equação diferencial usando a Transformada de Laplace:
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial
O que se pede é encontrar a solução
para
. Dados relevantes: a força de entrada é a delta de Dirac centrada em
, e as condições iniciais são nulas.
Passo 2
Vou usar a Transformada de Laplace. Primeiro, lembro as definições e propriedades que vou usar (explico cada uma):
ou seja, a transformada leva uma função no tempo para uma função em
. Propriedades que usarei:
- linearidade:
. - derivadas: para
,
Essas fórmulas vêm de integrar por partes; as letras
e
são a variável do espaço de Laplace e a transformada de
.
3) transformada da delta de Dirac: para ,
3) transformada da delta de Dirac: para
Isto significa que um impulso em tempo
corresponde a um fator exponencial multiplicando a transformada.
4) teorema do deslocamento no tempo (inverso): se , então
4) teorema do deslocamento no tempo (inverso): se
e consequentemente
onde
é a função degrau de Heaviside (valendo
para
e
para
).
Passo 3
Aplico a Transformada de Laplace à equação diferencial. Tomando transformada dos dois lados:
Usando as fórmulas de derivada e as condições iniciais
, obtemos
Como
e
, isto simplifica para
Passo 4
Isolo
:
Aqui já vemos um fator exponencial
multiplicando a transformada
. Pela propriedade de deslocamento no tempo isso indica que a solução no domínio do tempo será um degrau deslocado multiplicando a função cuja transformada é
.
Passo 5
Identifico a transformada inversa conhecida:
Portanto, aplicando o teorema do deslocamento no tempo (inverso) com
,
Logo a solução é
Explicação intuitiva: antes do impulso (
) não há excitação e as condições iniciais anulam a solução, então
. No instante
a delta aplica um impulso que inicia a oscilação livre
com amplitude tal que, imediatamente após o impulso, a derivada sofre um salto; o deslocamento no tempo aparece porque o impulso ocorre em
.
Passo 6
Dou a forma peça-por-peça e faço uma verificação rápida (útil na prova):
Peça-por-peça,
Peça-por-peça,
Verificação do salto na derivada: integrando a equação
de
até
dá
Como o intervalo é infinitesimal, a integral de
tende a zero, então
. Com nossa solução,
para
então
, e para
temos
dando
. O salto é
, como exigido pela delta — ótima confirmação.]