Calcule os limites a seguir, justificando com as Propriedades Aritméticas de Limites.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas e o que se busca:
- A expressão é o produto de dois fatores: o primeiro é
e o segundo é . - Quer-se o valor do limite quando
se aproxima de , ou seja, o comportamento da expressão perto de . - Preciso justificar usando as Propriedades Aritméticas de Limites (soma, produto, multiplicação por constante, limites de potências/raízes, composição/continuidade).
Passo 2
Vamos lembrar as propriedades que usarei (explicadas de forma simples):
- Se
e existem, então e - Se
é constante, . - Para funções polinomiais e potências inteiras positivas, vale
. - A função raiz quadrada
é contínua em , portanto para .
Essas propriedades permitem decompor o limite em limites mais simples que conhecemos.
Passo 3
Calcular o limite do primeiro fator
.
Pela propriedade da soma de limites e da continuidade de em
,
Pela propriedade da soma de limites e da continuidade de
Como
é contínua em
e
, temos
Logo
Passo 4
Calcular o limite do segundo fator
.
Usando linearidade e propriedades para potências:
Usando linearidade e propriedades para potências:
Pelo comportamento de potências,
Substituindo,
Calculemos as operações aritméticas passo a passo:
então
Portanto
Passo 5
Agora aplicamos a propriedade do produto de limites (os dois limites parciais existem e são finitos):
Substituindo os resultados dos passos anteriores:
Passo 6
Comentário final curto e motivador: outra forma de ver é notar que a expressão é produto de funções contínuas em
(constante, raiz quadrada e polinômio), logo a função toda é contínua em
e o limite é simplesmente o valor da função em
. Mas fizemos o caminho passo a passo usando as propriedades aritméticas de limites, como foi pedido — é exatamente o que cai na prova.