Calcule os limites a seguir, justificando com as Propriedades Aritméticas de Limites.
\lim _{x \rightarrow 4}(1+\sqrt{x})\left(2-4 x^{2}+x^{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 4}\bigl(1+\sqrt{x}\bigr)\bigl(2-4x^{2}+x^{3}\bigr).
Informações dadas e o que se busca:
  • A expressão é o produto de dois fatores: o primeiro é 1+\sqrt{x} e o segundo é 2-4x^{2}+x^{3}.
  • Quer-se o valor do limite quando x se aproxima de 4, ou seja, o comportamento da expressão perto de x=4.
  • Preciso justificar usando as Propriedades Aritméticas de Limites (soma, produto, multiplicação por constante, limites de potências/raízes, composição/continuidade).

Passo 2

Vamos lembrar as propriedades que usarei (explicadas de forma simples):
  • Se \lim_{x\to a} f(x) e \lim_{x\to a} g(x) existem, então \lim_{x\to a}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)=\lim_{x\to a}f(x)+\lim_{x\to a}g(x)e \lim_{x\to a}\bigl(f(x)\cdot g(x)\bigr)=\lim_{x\to a}f(x)\cdot\lim_{x\to a}g(x).
  • Se c é constante, \lim_{x\to a} c\cdot f(x)=c\cdot\lim_{x\to a}f(x).
  • Para funções polinomiais e potências inteiras positivas, vale \lim_{x\to a} x^{n}=a^{n}.
  • A função raiz quadrada \sqrt{x} é contínua em x\ge 0, portanto \lim_{x\to a}\sqrt{x}=\sqrt{a} para a\ge 0.
    Essas propriedades permitem decompor o limite em limites mais simples que conhecemos.

Passo 3

Calcular o limite do primeiro fator \,1+\sqrt{x}\,.
Pela propriedade da soma de limites e da continuidade de \sqrt{x} em x=4,
\lim_{x\to 4}\bigl(1+\sqrt{x}\bigr)=1+\lim_{x\to 4}\sqrt{x}.
Como \sqrt{x} é contínua em 4 e \sqrt{4}=2, temos
\lim_{x\to 4}\sqrt{x}=2.
Logo
\lim_{x\to 4}\bigl(1+\sqrt{x}\bigr)=1+2=3.

Passo 4

Calcular o limite do segundo fator \,2-4x^{2}+x^{3}\,.
Usando linearidade e propriedades para potências:
\lim_{x\to 4}\bigl(2-4x^{2}+x^{3}\bigr)=\lim_{x\to 4}2-4\lim_{x\to 4}x^{2}+\lim_{x\to 4}x^{3}.
Pelo comportamento de potências,
\lim_{x\to 4}x^{2}=4^{2}=16, \qquad \lim_{x\to 4}x^{3}=4^{3}=64.
Substituindo,
\lim_{x\to 4}\bigl(2-4x^{2}+x^{3}\bigr)=2-4\cdot 16+64.
Calculemos as operações aritméticas passo a passo:
4\cdot 16=64,
então
2-64+64=2.
Portanto
\lim_{x\to 4}\bigl(2-4x^{2}+x^{3}\bigr)=2.

Passo 5

Agora aplicamos a propriedade do produto de limites (os dois limites parciais existem e são finitos):
\lim_{x\to 4}\bigl(1+\sqrt{x}\bigr)\bigl(2-4x^{2}+x^{3}\bigr) = \left(\lim_{x\to 4}\bigl(1+\sqrt{x}\bigr)\right) \left(\lim_{x\to 4}\bigl(2-4x^{2}+x^{3}\bigr)\right).
Substituindo os resultados dos passos anteriores:
=3\cdot 2=6.

Passo 6

Comentário final curto e motivador: outra forma de ver é notar que a expressão é produto de funções contínuas em x=4 (constante, raiz quadrada e polinômio), logo a função toda é contínua em 4 e o limite é simplesmente o valor da função em 4. Mas fizemos o caminho passo a passo usando as propriedades aritméticas de limites, como foi pedido — é exatamente o que cai na prova.

Resposta

6

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