Considere a função:
f(x)= \begin{cases}x+2, & \text { se } x<0 \\\ x^{2}, & \text { se } x \geq 0\end{cases}
determine o \lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x) eo \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x).O \lim _{x \rightarrow 0} f(x) existe? Justifique.

Passo 1

O enunciado nos dá a função por partes
f(x)= \begin{cases}x+2, & \text{ se } x<0, \\[4pt] x^{2}, & \text{ se } x\ge 0,\end{cases}
e pede três coisas:
  • Determinar \displaystyle \lim_{x\to 0^-} f(x).
  • Determinar \displaystyle \lim_{x\to 0^+} f(x).
  • Dizer se \displaystyle \lim_{x\to 0} f(x) existe e justificar.
As informações relevantes do enunciado são as duas fórmulas que definem f(x) em cada lado de 0.]

Passo 2

Entendendo o que significa calcular um limite lateral: \displaystyle \lim_{x\to 0^-} f(x) significa olhar os valores de f(x) quando x se aproxima de 0 vindo da esquerda (valores menores que 0). Para esses x<0 usamos a expressão da função correspondente, que é x+2. Uma propriedade simples que vamos usar: funções polinomiais e lineares são contínuas, isto é, o limite quando x tende a um ponto é simplesmente o valor da função naquele ponto da fórmula (pode-se “substituir” o ponto na expressão). Assim, para calcular
\lim_{x\to 0^-} f(x)
usamos a fórmula x+2 e substituímos x=0:
\lim_{x\to 0^-} f(x)=\lim_{x\to 0^-} (x+2)=0+2=2.

Passo 3

Agora \displaystyle \lim_{x\to 0^+} f(x) significa olhar x aproximando-se de 0 pela direita (valores maiores ou iguais a 0). Para x\ge 0 a função é dada por x^{2}. Aplicando a mesma ideia de continuidade de polinômios, podemos substituir x=0 nessa expressão:
\lim_{x\to 0^+} f(x)=\lim_{x\to 0^+} x^{2}=0^{2}=0.

Passo 4

Comparando os dois limites laterais encontrados:
\lim_{x\to 0^-} f(x)=2, \qquad \lim_{x\to 0^+} f(x)=0.
Pelo conceito de limite em um ponto, o limite \displaystyle \lim_{x\to 0} f(x) existe somente se as duas limites laterais existem e são iguais. Aqui eles são diferentes ( 2\neq 0), portanto o limite em 0 não existe. Observação adicional (útil para prova): o valor da função em 0 é f(0)=0^{2}=0, então a função tem um salto à esquerda em x=0 (não é contínua em 0).

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to 0^-} f(x)=2
\displaystyle \lim_{x\to 0^+} f(x)=0
\displaystyle \lim_{x\to 0} f(x) não existe.

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