Resolva a equação diferencial.
(x y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}=0)
(x y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}=0)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
onde
é função de
e
,
. A tarefa é encontrar a solução geral
que satisfaça essa equação.
Passo 2
Observação útil (sem resolver ainda): a equação envolve apenas
e
, não aparece
sem derivada. Quando a função
em si não aparece, uma técnica natural é reduzir a ordem definindo uma nova função igual à derivada: isto transforma a EDO de segunda ordem numa de primeira ordem. Vamos aplicar isso.
Passo 3
Fazemos a substituição
Então
. Substituindo na equação dada obtemos
Agora temos uma equação de primeira ordem para
.
Passo 4
Reescrevendo a equação para isolar
:
Esta é uma equação separável (ou uma equação linear simples). Vou resolver pelo método das equações separáveis: dividir por
(assumindo
, o caso
será incluído pelas constantes) e por
:
Integramos ambos os lados:
As integrais dão
onde
é constante de integração. Exponenciando,
Absorvendo
e o sinal em uma constante arbitrária real
, obtemos
(Isto é válido em cada intervalo onde
não muda de sinal; a constante
pode ser qualquer real.)
Passo 5
Lembrando que
, temos
Integramos novamente para obter
:
onde
é outra constante de integração. Podemos renomear constantes se quisermos (por exemplo
), então a forma mais compacta da solução geral é
com
arbitrários.
Passo 6
Breve comentário sobre domínio: como a equação original tem coeficiente
multiplicando
,
é ponto singular da equação. A solução encontrada é válida em intervalos onde
não muda de sinal (por exemplo
ou
). Se
, a solução reduz-se à constante
, que é válida também “sobre”
.
Passo 7
Verificação rápida (útil na prova): derivando
obtemos
Substituindo na equação original:
confirma que a solução satisfaz a EDO.