Resolva a equação diferencial.
(x y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}=0)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
x\,y''-3y'=0,
onde y é função de x e y'=\dfrac{dy}{dx}, y''=\dfrac{d^2y}{dx^2}. A tarefa é encontrar a solução geral y(x) que satisfaça essa equação.

Passo 2

Observação útil (sem resolver ainda): a equação envolve apenas y'' e y', não aparece y sem derivada. Quando a função y em si não aparece, uma técnica natural é reduzir a ordem definindo uma nova função igual à derivada: isto transforma a EDO de segunda ordem numa de primeira ordem. Vamos aplicar isso.

Passo 3

Fazemos a substituição
p(x)=y'(x).
Então p'(x)=y''(x). Substituindo na equação dada obtemos
x\,p'(x)-3p(x)=0.
Agora temos uma equação de primeira ordem para p(x).

Passo 4

Reescrevendo a equação para isolar p':
x\,\frac{dp}{dx}-3p=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dp}{dx}=\frac{3}{x}\,p.
Esta é uma equação separável (ou uma equação linear simples). Vou resolver pelo método das equações separáveis: dividir por p (assumindo p\neq0, o caso p\equiv0 será incluído pelas constantes) e por x:
\frac{1}{p}\,dp=\frac{3}{x}\,dx.
Integramos ambos os lados:
\int\frac{1}{p}\,dp=\int\frac{3}{x}\,dx.
As integrais dão
\ln|p|=3\ln|x|+C,
onde C é constante de integração. Exponenciando,
|p|=e^{C}|x|^{3}.
Absorvendo e^{C} e o sinal em uma constante arbitrária real C_1, obtemos
p(x)=C_1 x^{3}.
(Isto é válido em cada intervalo onde x não muda de sinal; a constante C_1 pode ser qualquer real.)

Passo 5

Lembrando que p=y', temos
y'(x)=C_1 x^{3}.
Integramos novamente para obter y:
y(x)=\int C_1 x^{3}\,dx = C_1\frac{x^{4}}{4}+C_2,
onde C_2 é outra constante de integração. Podemos renomear constantes se quisermos (por exemplo A=C_1/4), então a forma mais compacta da solução geral é
y(x)=A x^{4}+B,
com A,B\in\mathbb{R} arbitrários.

Passo 6

Breve comentário sobre domínio: como a equação original tem coeficiente x multiplicando y'', x=0 é ponto singular da equação. A solução encontrada é válida em intervalos onde x não muda de sinal (por exemplo x>0 ou x<0). Se A=0, a solução reduz-se à constante y=B, que é válida também “sobre” x=0.

Passo 7

Verificação rápida (útil na prova): derivando y(x)=A x^{4}+B obtemos
y'=4A x^{3},\qquad y''=12A x^{2}.
Substituindo na equação original:
x\,y''-3y' = x(12A x^{2}) - 3(4A x^{3}) = 12A x^{3}-12A x^{3}=0,
confirma que a solução satisfaz a EDO.

Resposta

y(x)=A x^{4}+B

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