Resolva a equação diferencial.
(x y^{\prime \prime}+y^{\prime}=0)
(x y^{\prime \prime}+y^{\prime}=0)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações dadas e o que se pede:
- A equação envolve a função
e suas derivadas e . - O coeficiente de
é , portanto a equação é singular em (não podemos dividir por em ). - O objetivo é obter a solução geral
válida em intervalos onde (por exemplo, ou ).
Passo 2
Observação sobre método: a equação contém somente
e
, não aparece
sem derivada. Nessas situações é eficiente diminuir a ordem usando a substituição
Essa substituição transforma a equação de segunda ordem numa equação de primeira ordem para
. Vou seguir por esse caminho porque simplifica bastante e é rápido para resolver à mão.
Passo 3
Com
temos
. Substituindo na equação original obtemos
Agora temos uma equação de primeira ordem para
.
Passo 4
Reescrevendo a equação em termos de derivada:
Essa é uma equação separável (ou uma linear homogênea com coeficiente
). Faço separação de variáveis:
Agora integro ambos os lados. Lembre que
.
Passo 5
Integrando,
onde
é constante de integração. Exponenciando ambos os lados:
Posso agregar o sinal em uma constante arbitrária
(que pode ser positiva, negativa ou zero), obtendo
onde, para simplificar a notação, renomeei a constante exponenciada por
. Portanto voltando à variável
,
Passo 6
Agora integro
para obter
. A integral de
é
:
onde
é uma segunda constante de integração. Assim a solução geral é
válida para
. As constantes
e
são números reais arbitrários.
Passo 7
Verificação rápida (importante para fazer na prova): calcule
Substituindo na equação original:
portanto a solução encontrada satisfaz a equação. Força aí — você conseguiu!