Resolva a equação diferencial.
(x y^{\prime \prime}+y^{\prime}=0)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
x\,y'' + y' = 0.
Informações dadas e o que se pede:
  • A equação envolve a função y(x) e suas derivadas y' e y''.
  • O coeficiente de y'' é x, portanto a equação é singular em x=0 (não podemos dividir por x em x=0).
  • O objetivo é obter a solução geral y(x) válida em intervalos onde x\neq0 (por exemplo, x>0 ou x<0).

Passo 2

Observação sobre método: a equação contém somente y' e y'', não aparece y sem derivada. Nessas situações é eficiente diminuir a ordem usando a substituição
p(x)=y'(x).
Essa substituição transforma a equação de segunda ordem numa equação de primeira ordem para p. Vou seguir por esse caminho porque simplifica bastante e é rápido para resolver à mão.

Passo 3

Com p=y' temos p'=\dfrac{dp}{dx}=y''. Substituindo na equação original obtemos
x\,p' + p = 0.
Agora temos uma equação de primeira ordem para p(x).

Passo 4

Reescrevendo a equação em termos de derivada:
p' = -\frac{1}{x}\,p.
Essa é uma equação separável (ou uma linear homogênea com coeficiente 1/x). Faço separação de variáveis:
\frac{dp}{p} = -\frac{dx}{x}.
Agora integro ambos os lados. Lembre que \int \frac{1}{u}\,du = \ln|u|.

Passo 5

Integrando,
\ln|p| = -\ln|x| + C_1,
onde C_1 é constante de integração. Exponenciando ambos os lados:
|p| = e^{C_1}\,|x|^{-1}.
Posso agregar o sinal em uma constante arbitrária C (que pode ser positiva, negativa ou zero), obtendo
p(x)=\frac{C_1}{x},
onde, para simplificar a notação, renomeei a constante exponenciada por C_1. Portanto voltando à variável y,
y'(x)=\frac{C_1}{x}.

Passo 6

Agora integro y'(x) para obter y(x). A integral de 1/x é \ln|x|:
y(x) = C_1\int \frac{1}{x}\,dx + C_2 = C_1\ln|x| + C_2,
onde C_2 é uma segunda constante de integração. Assim a solução geral é
y(x)=C_1\ln|x| + C_2,
válida para x\neq0. As constantes C_1 e C_2 são números reais arbitrários.

Passo 7

Verificação rápida (importante para fazer na prova): calcule
y'(x)=\frac{C_1}{x},\qquad y''(x)=-\frac{C_1}{x^2}.
Substituindo na equação original:
x\,y'' + y' = x\left(-\frac{C_1}{x^2}\right) + \frac{C_1}{x} = -\frac{C_1}{x} + \frac{C_1}{x} = 0,
portanto a solução encontrada satisfaz a equação. Força aí — você conseguiu!

Resposta

y(x)=C_{1}\ln|x|+C_{2},\quad C_{1},C_{2}\in\mathbb{R},\\ x\neq0.

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