Resolva cada equação diferencial pela variação dos parâmetros sujeita às condições iniciais y(0)=1, y^{\prime}(0)=0. y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=\left(12 x^{2}-6 x\right) e^{2 x}
Passo 1
O que o enunciado pede:
Resolver a equação diferencial não-homogênea
y''-4y'+4y=\bigl(12x^{2}-6x\bigr)e^{2x}
sujeita às condições iniciais
y(0)=1,\qquad y'(0)=0.
Informações dadas (relevantes):
A equação é linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
O lado direito é um polinômio de grau 2 multiplicado por e^{2x}.
Devemos usar o método da variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular e então aplicar as condições iniciais.
Passo 2
Encontrar a solução geral da equação homogênea associada.
Escrevemos a equação homogênea
y''-4y'+4y=0.
Formamos o polinômio característico
r^{2}-4r+4=0.
Calculamos as raízes: essa é uma quadrática com \Delta=(-4)^{2}-4\cdot1\cdot4=16-16=0, logo raízes iguais r=2 (raiz dupla). Para uma raiz dupla r=2 as soluções fundamentais são
y_{1}(x)=e^{2x},\qquad y_{2}(x)=x e^{2x}.
Assim a solução geral homogênea é
y_{h}(x)=\bigl(C_{1}+C_{2}x\bigr)e^{2x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.
Passo 3
Apresentar a ideia e as fórmulas da variação dos parâmetros (explicação didática).
A ideia: em vez de constantes C_{1},C_{2} tomarmos funções u_{1}(x),u_{2}(x) e procurarmos uma solução particular da forma
y_{p}(x)=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x).
Para determinar u_{1} e u_{2} impomos a condição auxiliar
u_{1}'(x)y_{1}(x)+u_{2}'(x)y_{2}(x)=0,
para simplificar as expressões e obter um sistema mais fácil.
A partir das equações obtidas e usando o termo não-homogêneo f(x)=\bigl(12x^{2}-6x\bigr)e^{2x}, chegam-se às fórmulas padrão
Observação didática: W(x) mede a independência linear de y_{1},y_{2}. Se W\neq0 podemos aplicar variação dos parâmetros e obter u_{1}',u_{2}' diretamente com as fórmulas acima.]
Passo 4
Calcular o wronskiano W(x) usando y_{1}=e^{2x} e y_{2}=x e^{2x}.
Primeiro as derivadas:
Na variação dos parâmetros podemos escolher as constantes de integração C_{a},C_{b} iguais a zero porque qualquer contribuição constante multiplicada por y_{1} ou y_{2} fica absorvida na solução homogênea y_{h}. Assim tomamos