Resolva cada equação diferencial pela variação dos parâmetros sujeita às condições iniciais y(0)=1, y^{\prime}(0)=0.
y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=\left(12 x^{2}-6 x\right) e^{2 x}

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Resolver a equação diferencial não-homogênea
y''-4y'+4y=\bigl(12x^{2}-6x\bigr)e^{2x}
sujeita às condições iniciais
y(0)=1,\qquad y'(0)=0.
Informações dadas (relevantes):
  • A equação é linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • O lado direito é um polinômio de grau 2 multiplicado por e^{2x}.
  • Devemos usar o método da variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular e então aplicar as condições iniciais.

Passo 2

Encontrar a solução geral da equação homogênea associada.
Escrevemos a equação homogênea
y''-4y'+4y=0.
Formamos o polinômio característico
r^{2}-4r+4=0.
Calculamos as raízes: essa é uma quadrática com \Delta=(-4)^{2}-4\cdot1\cdot4=16-16=0, logo raízes iguais r=2 (raiz dupla). Para uma raiz dupla r=2 as soluções fundamentais são
y_{1}(x)=e^{2x},\qquad y_{2}(x)=x e^{2x}.
Assim a solução geral homogênea é
y_{h}(x)=\bigl(C_{1}+C_{2}x\bigr)e^{2x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Apresentar a ideia e as fórmulas da variação dos parâmetros (explicação didática).
  • A ideia: em vez de constantes C_{1},C_{2} tomarmos funções u_{1}(x),u_{2}(x) e procurarmos uma solução particular da forma
y_{p}(x)=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x).
  • Para determinar u_{1} e u_{2} impomos a condição auxiliar
u_{1}'(x)y_{1}(x)+u_{2}'(x)y_{2}(x)=0,
para simplificar as expressões e obter um sistema mais fácil.
  • A partir das equações obtidas e usando o termo não-homogêneo f(x)=\bigl(12x^{2}-6x\bigr)e^{2x}, chegam-se às fórmulas padrão
u_{1}'(x)=-\frac{f(x)y_{2}(x)}{W(x)},\qquad u_{2}'(x)=\frac{f(x)y_{1}(x)}{W(x)},
onde W(x) é o wronskiano das soluções fundamentais y_{1},y_{2}:
W(x)=\begin{vmatrix} y_{1} & y_{2}\\[4pt] y_{1}' & y_{2}'\end{vmatrix}=y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}.
  • Observação didática: W(x) mede a independência linear de y_{1},y_{2}. Se W\neq0 podemos aplicar variação dos parâmetros e obter u_{1}',u_{2}' diretamente com as fórmulas acima.]

Passo 4

Calcular o wronskiano W(x) usando y_{1}=e^{2x} e y_{2}=x e^{2x}.
Primeiro as derivadas:
y_{1}'(x)=2e^{2x},\qquad y_{2}'(x)=\bigl(1+2x\bigr)e^{2x}.
Agora o wronskiano:
W(x)=y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}=e^{2x}\cdot\bigl(1+2x\bigr)e^{2x}-2e^{2x}\cdot x e^{2x}.
Fatorando e^{4x}:
W(x)=e^{4x}\bigl((1+2x)-2x\bigr)=e^{4x}\cdot 1=e^{4x}.
Portanto W(x)=e^{4x}, que é sempre diferente de zero, então podemos prosseguir.

Passo 5

Calcular u_{1}'(x) e u_{2}'(x) usando as fórmulas e f(x).
Temos f(x)=\bigl(12x^{2}-6x\bigr)e^{2x}, y_{1}=e^{2x}, y_{2}=x e^{2x} e W=e^{4x}. Então
u_{1}'(x)=-\frac{f(x)y_{2}(x)}{W(x)} =-\frac{\bigl(12x^{2}-6x\bigr)e^{2x}\cdot x e^{2x}}{e^{4x}}.
Cancelando e^{2x}\cdot e^{2x}=e^{4x} com o denominador:
u_{1}'(x)=-x\bigl(12x^{2}-6x\bigr)=-12x^{3}+6x^{2}.
Para u_{2}':
u_{2}'(x)=\frac{f(x)y_{1}(x)}{W(x)} =\frac{\bigl(12x^{2}-6x\bigr)e^{2x}\cdot e^{2x}}{e^{4x}} =12x^{2}-6x.

Passo 6

Integrar u_{1}'(x) e u_{2}'(x) para obter u_{1}(x) e u_{2}(x).
Integramos u_{1}'(x)=-12x^{3}+6x^{2}:
u_{1}(x)=\int\bigl(-12x^{3}+6x^{2}\bigr)\,dx =-12\cdot\frac{x^{4}}{4}+6\cdot\frac{x^{3}}{3}+C_{a} =-3x^{4}+2x^{3}+C_{a}.
Integramos u_{2}'(x)=12x^{2}-6x:
u_{2}(x)=\int\bigl(12x^{2}-6x\bigr)\,dx =12\cdot\frac{x^{3}}{3}-6\cdot\frac{x^{2}}{2}+C_{b} =4x^{3}-3x^{2}+C_{b}.
Na variação dos parâmetros podemos escolher as constantes de integração C_{a},C_{b} iguais a zero porque qualquer contribuição constante multiplicada por y_{1} ou y_{2} fica absorvida na solução homogênea y_{h}. Assim tomamos
u_{1}(x)=-3x^{4}+2x^{3},\qquad u_{2}(x)=4x^{3}-3x^{2}.

Passo 7

Construir a solução particular y_{p}=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2} e simplificá-la.
Escrevemos
y_{p}(x)=u_{1}(x)e^{2x}+u_{2}(x)\bigl(x e^{2x}\bigr) =e^{2x}\bigl(u_{1}(x)+x\,u_{2}(x)\bigr).
Substituindo u_{1} e u_{2}:
u_{1}(x)+x\,u_{2}(x)=\bigl(-3x^{4}+2x^{3}\bigr)+x\bigl(4x^{3}-3x^{2}\bigr).
Calcule o termo x\,u_{2}(x)=4x^{4}-3x^{3}. Somando:
-3x^{4}+2x^{3}+4x^{4}-3x^{3}=x^{4}-x^{3}.
Portanto
y_{p}(x)=\bigl(x^{4}-x^{3}\bigr)e^{2x}.

Passo 8

Escrever a solução geral e aplicar as condições iniciais para determinar C_{1} e C_{2}.
A solução geral é
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x) =\bigl(C_{1}+C_{2}x\bigr)e^{2x}+\bigl(x^{4}-x^{3}\bigr)e^{2x}.
Para facilitar a aplicação das condições iniciais, factoramos e^{2x} e definimos
g(x)=C_{1}+C_{2}x+x^{4}-x^{3},
de modo que y(x)=e^{2x}g(x). Então
y(0)=e^{0}g(0)=g(0)=C_{1}=1,
pela condição y(0)=1. Agora calculamos y'(x) usando a regra do produto:
y'(x)=2e^{2x}g(x)+e^{2x}g'(x)=e^{2x}\bigl(2g(x)+g'(x)\bigr).
Logo
y'(0)=e^{0}\bigl(2g(0)+g'(0)\bigr)=2g(0)+g'(0).
Sabendo g(0)=C_{1}=1 e g'(x)=C_{2}+4x^{3}-3x^{2}, obtemos g'(0)=C_{2}. A condição y'(0)=0
0=2\cdot 1 + C_{2}\quad\Rightarrow\quad C_{2}=-2.

Resposta

y(x)=e^{2x}\bigl(1-2x+x^{4}-x^{3}\bigr)

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