Resolva a equação \frac{d y}{d x}=\frac{x-y-1}{x+y+3} achando h e k tais que a substituição x=u+h, y=v+k transforme a equação na equação homogênea \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{du}}=\frac{\mathrm{u}-v}{\mathrm{u}+v}.

Passo 1

O enunciado pede para transformar a EDO
\frac{dy}{dx} = \frac{x - y - 1}{x + y + 3}
numa equação homogênea
\frac{dv}{du} = \frac{u - v}{u + v}
por meio da mudança de variáveis
x = u + h,\quad y = v + k.
Para isso, precisamos escolher h e k de modo que, ao substituir, os termos constantes desapareçam no numerador e denominador.

Passo 2

Fazendo a substituição x = u+h e y = v+k, temos dy/dx = dv/du (pois dx=du). O lado direito torna-se
\frac{(u+h) - (v+k) - 1}{(u+h) + (v+k) + 3} = \frac{u - v + (h - k - 1)}{u + v + (h + k + 3)}.

Passo 3

Queremos que essa fração seja exatamente (u - v)/(u + v). Então exigimos que os termos independentes de u,v sejam nulos:
\begin{cases} h - k - 1 = 0,\\\ h + k + 3 = 0. \end{cases}

Passo 4

Resolvendo o sistema
  1. h - k = 1
  2. h + k = -3
    Somando as duas: 2h = -2\Rightarrow h=-1.
    Substituindo em h - k = 1: -1 - k = 1\Rightarrow k = -2.

Resposta

h = -1, k = -2.

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