Resolva os problemas de valores iniciais propostos e, na medida do possivel, encontre os domínios das soluções obtidas y^{\prime}=\varepsilon y-\sigma y^{3}, y(0)=1 onde \varepsilon e \sigma são constantes positivas.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'=\varepsilon\,y-\sigma\,y^3,\quad y(0)=1,
onde \varepsilon>0 e \sigma>0.
Este é um EDO de primeira ordem e separável. Vamos separar variáveis, integrar por partes (usando frações parciais) e aplicar a condição inicial para obter a solução explícita. Finalmente, analisaremos para quais x o denominador da solução não se anula (domínio).
No primeiro termo, \displaystyle\int \frac{1}{\varepsilon}\,\frac{dy}{y}=\frac{1}{\varepsilon}\ln|y|.
No segundo, faça u=\varepsilon-\sigma\,y^2, du=-2\sigma\,y\,dy, então
1. Se \varepsilon>\sigma, então \varepsilon-\sigma>0 e o termo \sigma e^{2\varepsilon x}>0 para todo x, logo não zera: domínio é \mathbb{R}. 2. Se \varepsilon<\sigma, então \varepsilon-\sigma<0 e existe x_{\min} tal que