Encontre soluçōes gerais para as equaçōes diferenciais seguintes. Observe que
denota derivada com relação a x .
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
onde
.
Este é um caso de equação de Bernoulli:
Este é um caso de equação de Bernoulli:
com
,
e
. Vamos usar a transformação que reduz Bernoulli a uma equação linear.
Passo 2
Dividindo tudo por
para pôr em forma padrão, obtemos
Esta é exatamente
Passo 3
Na equação de Bernoulli usa-se a substituição
Calculando a derivada,
Agora escrevemos a equação original multiplicada por
:
Como
, substituímos e obtemos
Dividindo por
dá
uma equação linear em
.
Passo 4
Para resolver
calculamos o fator integrante
Multiplicando a equação por
temos
cujo lado esquerdo é
. Logo
Assim
Passo 5
Voltando à variável
, lembramos que
Invertendo o sinal do expoente,
Além dessa família não-trivial, a solução
também satisfaz a equação original.
Resposta
A solução geral não trivial é
com
constante arbitrária, além da solução trivial
.