Encontre soluçōes gerais para as equaçōes diferenciais seguintes. Observe que y^{\prime} denota derivada com relação a x .
x y^{\prime}+6 y=3 x y^{\frac{4}{3}}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
x\,y'+6y=3x\,y^{4/3},
onde y'=dy/dx.
Este é um caso de equação de Bernoulli:
y'+P(x)\,y=Q(x)\,y^n,
com P(x)=6/x, Q(x)=3 e n=4/3. Vamos usar a transformação que reduz Bernoulli a uma equação linear.

Passo 2

Dividindo tudo por x para pôr em forma padrão, obtemos
y'+\frac{6}{x}\,y=3\,y^{4/3}.
Esta é exatamente
y'+P(x)\,y=Q(x)\,y^n \quad\text{com}\quad P(x)=\frac{6}{x},\; Q(x)=3,\; n=\frac{4}{3}.

Passo 3

Na equação de Bernoulli usa-se a substituição
z = y^{1-n} = y^{1-\tfrac{4}{3}} = y^{-1/3}.
Calculando a derivada,
\frac{dz}{dx} =(1-n)\,y^{-n}\,\frac{dy}{dx} =-\tfrac{1}{3}\,y^{-4/3}\,y'.
Agora escrevemos a equação original multiplicada por y^{-4/3}:
y^{-4/3}y' + \frac{6}{x}\,y^{-1/3} = 3.
Como y^{-4/3}y' = -3\,dz/dx, substituímos e obtemos
-3\,\frac{dz}{dx} + \frac{6}{x}\,z = 3.
Dividindo por -3
\frac{dz}{dx} - \frac{2}{x}\,z = -1,
uma equação linear em z.

Passo 4

Para resolver
\frac{dz}{dx} - \frac{2}{x}\,z = -1
calculamos o fator integrante
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int -\tfrac{2}{x}\,dx\Bigr) = x^{-2}.
Multiplicando a equação por x^{-2} temos
x^{-2}\frac{dz}{dx} - 2x^{-3}z = -x^{-2},
cujo lado esquerdo é \dfrac{d}{dx}(x^{-2}z). Logo
\frac{d}{dx}(x^{-2}z) = -x^{-2} \quad\Longrightarrow\quad x^{-2}z = \int -x^{-2}\,dx = x^{-1} + C.
Assim
z = x^2\bigl(x^{-1}+C\bigr) = x + Cx^2.

Passo 5

Voltando à variável y, lembramos que
z = y^{-1/3} \quad\Longrightarrow\quad y^{-1/3} = x + Cx^2 = x(1+Cx).
Invertendo o sinal do expoente,
y^{1/3} = \frac{1}{x(1+Cx)} \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{1}{\bigl[x(1+Cx)\bigr]^3} = \frac{1}{x^3\,(1+Cx)^3}.
Além dessa família não-trivial, a solução y\equiv0 também satisfaz a equação original.

Resposta

A solução geral não trivial é
y(x) = \frac{1}{x^3\,(1+Cx)^3},
com C constante arbitrária, além da solução trivial y(x)=0.

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