Resolva a equação
\frac{d y}{d x}=\frac{a y+b y}{c y+d y}
onde a, b, c e d são constantes.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\frac{d y}{d x}=\frac{a y+b y}{c y+d y},
onde a,b,c,d são constantes. Vou listar claramente o que temos e o que é pedido:
  • Dados: as constantes a, b, c, d.
  • Incógnita: a função y(x).
  • Objetivo: encontrar a solução geral y(x) (ou as soluções possíveis), tratando cuidadosamente casos especiais que surgem ao manipular a expressão do lado direito.

Passo 2

Primeira manipulação algébrica: fatorando y em numerador e denominador.
a y + b y = (a+b)\,y,\qquad c y + d y = (c+d)\,y.
Portanto, quando for legal dividir por y (isto é, quando y\neq 0) e desde que o fator (c+d) não seja zero, a equação se simplifica para
\frac{d y}{d x}=\frac{(a+b)\,y}{(c+d)\,y}=\frac{a+b}{c+d}.
Aqui é importante observar duas hipóteses que usamos na simplificação:
  • precisamos ter y\neq 0 para poder cancelar o fator y;
  • precisamos ter c+d\neq 0 para que a fração \dfrac{a+b}{c+d} esteja bem definida.
Vou tratar separadamente os casos conforme essas hipóteses.

Passo 3

Caso A: (c+d)\neq 0.
Defina a constante
k:=\frac{a+b}{c+d}.
Então, para qualquer intervalo onde y(x)\neq 0, a equação reduz-se a uma equação diferencial muito simples de primeira ordem:
\frac{d y}{d x}=k.
A técnica para resolver \dfrac{d y}{d x}=k é integrar ambos os lados em relação a x. Explicando devagar: \dfrac{d y}{d x} é a derivada de y em relação a x; escrever
\frac{d y}{d x}=k
significa que a taxa de variação de y é uma constante k. Integrando ambos os lados:
\int \frac{d y}{d x}\,dx=\int k\,dx.
No lado esquerdo a integral anula a derivada e fica y; no lado direito obtemos k x mais uma constante de integração. Assim
y(x)=k x + C,
onde C é uma constante arbitrária real. Este é o resultado habitual para uma ODE com derivada constante.
Observações importantes para este caso:
  • A solução y(x)=k x + C foi obtida assumindo que, sobre o intervalo considerado, y(x)\neq 0 sempre que cancelamos y. Se a reta y(x)=k x + C intercepta 0 em algum ponto x_0 (isto é, existe x_0 com k x_0 + C=0), então nesse ponto a expressão original do enunciado era indeterminada ( 0/0). Portanto, a solução é válida em qualquer intervalo em que a função não atinja 0. Em termos práticos, aceita-se y(x)=k x + C como solução em qualquer intervalo máximo onde y não zera.
  • Um caso particular: se k=0 (isto é, a+b=0 enquanto c+d\neq 0), a solução geral é y(x)=C (constante). Essas constantes C devem satisfazer C\neq 0 se quisermos garantir que a manipulação é válida; na prática, qualquer C\neq 0 funciona e C=0 não é admissível porque na expressão original dá 0/0.

Passo 4

Caso B: (c+d)=0. Então o denominador simplificado (c+d)\,y é sempre zero (para qualquer y). Há duas subsituações:
  1. Se (c+d)=0 e (a+b)\neq 0: o numerador simplificado (a+b)\,y não é identicamente zero (a não ser que y\equiv 0), mas o denominador é zero, então a razão \dfrac{(a+b)\,y}{(c+d)\,y} é (para y\neq 0) uma divisão por zero — expressão indefinida. Não existe uma função y(x) que torne a igualdade clássica válida em pontos onde a fração aparece; portanto, não há solução diferenciável que satisfaça a equação em um ponto onde a expressão do enunciado é usada de forma direta. Em linguagem simples: a equação, tal como escrita, é inconsistente quando c+d=0 e a+b\neq 0.
  2. Se (c+d)=0 e (a+b)=0: então tanto o numerador quanto o denominador reduzidos são zero, ou seja, a expressão do lado direito é 0/0 para todo y. Isso torna a equação indeterminada: a igualdade
\frac{d y}{d x}=\frac{0}{0}
não é uma afirmação bem definida na teoria usual de equações diferenciais. Não se pode deduzir uma relação que permita resolver y. Portanto neste caso também não há uma solução determinada pela equação (a equação não impõe uma condição útil).

Passo 5

Resumo das conclusões e como usar na prova (dicas práticas):
  • Se c+d\neq 0: a equação é equivalente (para y\neq 0) a \dfrac{d y}{d x}=k com k=\dfrac{a+b}{c+d}. Integração simples dá a família de retas
y(x)=\frac{a+b}{c+d}\,x + C,
válida em intervalos onde y(x)\neq 0. Se \dfrac{a+b}{c+d}=0 então as soluções constantes não nulas y(x)=C\neq 0 são permitidas; y\equiv 0 não é admissível porque torna a expressão original indeterminada.
  • Se c+d=0 e a+b\neq 0: a equação escrita é inconsistente (denominador nulo) e não fornece solução clássica.
  • Se c+d=0 e a+b=0: a equação é indeterminada ( 0/0) e também não determina soluções.
Respire fundo — o truque era perceber que tudo se reduz a um cancelamento de y e a análise dos casos em que esse cancelamento é ou não válido. Isso é comum em provas: sempre checar se uma divisão é permitida e tratar casos especiais.

Resposta

Se c+d\neq 0: y(x)=\frac{a+b}{c+d}\,x + C,
com a observação de que a solução vale em intervalos onde y(x)\neq 0 (e, se \dfrac{a+b}{c+d}=0, aceita-se y(x)=C\neq 0 como solução constante).
Se c+d=0 e a+b\neq 0: não há solução clássica (denominador nulo, equação inconsistente).
Se c+d=0 e a+b=0: a equação é indeterminada ( 0/0) e não determina uma solução.

Exercícios relacionados