Resolva a equação
onde
e
são constantes.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
onde
são constantes. Vou listar claramente o que temos e o que é pedido:
- Dados: as constantes
, , , . - Incógnita: a função
. - Objetivo: encontrar a solução geral
(ou as soluções possíveis), tratando cuidadosamente casos especiais que surgem ao manipular a expressão do lado direito.
Passo 2
Primeira manipulação algébrica: fatorando
em numerador e denominador.
Portanto, quando for legal dividir por
(isto é, quando
) e desde que o fator
não seja zero, a equação se simplifica para
Aqui é importante observar duas hipóteses que usamos na simplificação:
- precisamos ter
para poder cancelar o fator ; - precisamos ter
para que a fração esteja bem definida.
Vou tratar separadamente os casos conforme essas hipóteses.
Passo 3
Caso A:
.
Defina a constante
Defina a constante
Então, para qualquer intervalo onde
, a equação reduz-se a uma equação diferencial muito simples de primeira ordem:
A técnica para resolver
é integrar ambos os lados em relação a
. Explicando devagar:
é a derivada de
em relação a
; escrever
significa que a taxa de variação de
é uma constante
. Integrando ambos os lados:
No lado esquerdo a integral anula a derivada e fica
; no lado direito obtemos
mais uma constante de integração. Assim
onde
é uma constante arbitrária real. Este é o resultado habitual para uma ODE com derivada constante.
Observações importantes para este caso:
- A solução
foi obtida assumindo que, sobre o intervalo considerado, sempre que cancelamos . Se a reta intercepta em algum ponto (isto é, existe com ), então nesse ponto a expressão original do enunciado era indeterminada ( ). Portanto, a solução é válida em qualquer intervalo em que a função não atinja . Em termos práticos, aceita-se como solução em qualquer intervalo máximo onde não zera. - Um caso particular: se
(isto é, enquanto ), a solução geral é (constante). Essas constantes devem satisfazer se quisermos garantir que a manipulação é válida; na prática, qualquer funciona e não é admissível porque na expressão original dá .
Passo 4
Caso B:
. Então o denominador simplificado
é sempre zero (para qualquer
). Há duas subsituações:
-
Se
e : o numerador simplificado não é identicamente zero (a não ser que ), mas o denominador é zero, então a razão é (para ) uma divisão por zero — expressão indefinida. Não existe uma função que torne a igualdade clássica válida em pontos onde a fração aparece; portanto, não há solução diferenciável que satisfaça a equação em um ponto onde a expressão do enunciado é usada de forma direta. Em linguagem simples: a equação, tal como escrita, é inconsistente quando e . -
Se
e : então tanto o numerador quanto o denominador reduzidos são zero, ou seja, a expressão do lado direito é para todo . Isso torna a equação indeterminada: a igualdade
não é uma afirmação bem definida na teoria usual de equações diferenciais. Não se pode deduzir uma relação que permita resolver
. Portanto neste caso também não há uma solução determinada pela equação (a equação não impõe uma condição útil).
Passo 5
Resumo das conclusões e como usar na prova (dicas práticas):
- Se
: a equação é equivalente (para ) a com . Integração simples dá a família de retas
válida em intervalos onde
. Se
então as soluções constantes não nulas
são permitidas;
não é admissível porque torna a expressão original indeterminada.
- Se
e : a equação escrita é inconsistente (denominador nulo) e não fornece solução clássica. - Se
e : a equação é indeterminada ( ) e também não determina soluções.
Respire fundo — o truque era perceber que tudo se reduz a um cancelamento de
e a análise dos casos em que esse cancelamento é ou não válido. Isso é comum em provas: sempre checar se uma divisão é permitida e tratar casos especiais.
Resposta
Se
:
com a observação de que a solução vale em intervalos onde
(e, se
, aceita-se
como solução constante).
Se
e
: não há solução clássica (denominador nulo, equação inconsistente).
Se
e
: a equação é indeterminada (
) e não determina uma solução.