Resolva a equação homogênea e calcule o Wronskiano das soluções.
y^{\prime \prime}-8 y^{\prime}+16 y=0
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y^{\prime\prime}-8y^{\prime}+16y=0.
O que é pedido:
Resolver a equação homogênea, ou seja, encontrar a solução geral y(x).
Calcular o Wronskiano das duas soluções fundamentais (ou seja, o determinante que verifica a independência linear das soluções).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
É uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.
Os coeficientes numéricos são -8 (ante do y') e 16 (ante do y).
Passo 2
Vamos procurar soluções do tipo exponencial porque para EDOs lineares com coeficientes constantes essa é a técnica mais direta: suponha uma solução da forma y=e^{rx}, onde r é um número a determinar. Substituindo na equação, temos:
y'=r e^{rx},\qquad y''=r^{2} e^{rx}.
Substituindo em \;y''-8y'+16y=0\; resulta
r^{2}e^{rx}-8r e^{rx}+16 e^{rx}=0.
Como e^{rx}\neq 0 para todo x, podemos dividir por e^{rx} e obtemos a equação característica (polinomial em r):
r^{2}-8r+16=0.
Passo 3
Resolvendo a equação característica:
r^{2}-8r+16=(r-4)^{2}=0,
portanto há uma raiz real dupla
r=4\quad\text{(multiplicidade 2)}.
Explicando: quando a equação característica tem raiz dupla r, a teoria diz que uma solução é e^{rx} e a segunda solução independente pode ser obtida como x e^{rx}. Vou mostrar por quê usando redução de ordem (derivação curta e didática).
Passo 4
Derivação da segunda solução por redução de ordem (passo a passo):
Tome y_{1}(x)=e^{4x} (essa é uma solução porque corresponde a r=4).
Procura-se uma segunda solução da forma y_{2}(x)=u(x)e^{4x}, com u(x) desconhecido.
Para que y_{2} seja solução precisamos de e^{4x}u''=0, logo u''=0.
Integrando duas vezes: u(x)=A+Bx. A componente A e^{4x} é apenas múltiplo da y_{1}, por isso a nova solução independente vem do termo Bx e^{4x}. Escolhendo B=1 obtemos a segunda solução fundamental
y_{2}(x)=x e^{4x}.
Passo 5
Portanto um conjunto fundamental de soluções é
y_{1}(x)=e^{4x},\qquad y_{2}(x)=x e^{4x},
e a solução geral da equação homogênea é combinação linear dessas:
Portanto o Wronskiano vale \;e^{8x}, que é nunca nulo. Isso confirma que y_{1} e y_{2} são linearmente independentes em toda a reta.]
Passo 7
Comentário rápido usando uma fórmula geral (para contexto): pela fórmula de Abel, para uma equação na forma padrão y''+P(x)y'+Q(x)y=0 tem-se W(x)=C\exp\bigl(-\int P(x)\,dx\bigr). No nosso caso a equação já está em forma padrão com P(x)=-8, então W(x)=C e^{8x}. O cálculo direto acima fornece C=1, portanto W(x)=e^{8x}, concordando com o resultado direto.