resolva o problema de valor inicial dado. Dê o maior intervalo
sobre o qual a solução está definida.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e a condição inicial:
O que se pede:
- Encontrar a solução
que satisfaz essa equação e a condição inicial. - Determinar o maior intervalo
sobre o qual essa solução está definida.
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem. Somando
em ambos os lados,
Aqui a equação tem a forma
com
e
. Método que vamos usar: fator integrante. Explico rapidinho o motivo: o fator integrante
é uma função tal que multiplicando a equação por
o lado esquerdo vira a derivada do produto
. A fórmula do fator integrante é
Passo 3
Calcular o fator integrante usando
:
Multiplicando a equação padrão por
:
Repare que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
. De fato,
Portanto a equação fica
Passo 4
Integrar ambos os lados em relação a
:
onde
é constante de integração. Agora preciso calcular a integral
. Vou fazer por partes. Escolho
Pela fórmula de integração por partes
, temos
Calcular a última integral:
logo
Passo 5
Substituindo na expressão obtida em Passo 4:
Dividindo ambos os lados por
(que nunca é zero), obtemos a solução geral:
Observação didática: essa forma é a soma de uma solução particular
(uma função polinomial) e da solução geral da homogênea
, que aparece sempre para equações lineares.
Passo 6
Aplicar a condição inicial
para determinar
. Substituindo
em
:
Logo
Colocando no mesmo denominador
:
então
.
Passo 7
Substituindo
na solução geral, obtemos a solução particular que satisfaz a condição inicial:
Breve comentário: a parte
decai rapidamente quando
, e a solução tende a comportar-se como a parte polinomial
para grandes
.
Passo 8
Determinar o maior intervalo
onde a solução está definida. As funções que aparecem na equação original (o coeficiente de
, que é
, e o termo
) são contínuas para todo
. Além disso a solução encontrada envolve exponenciais e polinômios, que são definidas para todo real. Pelo teorema de existência e unicidade (forma intuitiva: se os coeficientes são contínuos num intervalo que contém o ponto inicial, existe uma solução única nesse intervalo), a solução é definida para todo
. Portanto o maior intervalo é toda a reta real.