resolva o problema de valor inicial dado. Dê o maior intervalo I sobre o qual a solução está definida.
\frac{d y}{d x}=2 x-3 y, \quad y(0)=\frac{1}{3}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e a condição inicial:
\frac{dy}{dx}=2x-3y,\qquad y(0)=\frac{1}{3}.
O que se pede:
  • Encontrar a solução y(x) que satisfaz essa equação e a condição inicial.
  • Determinar o maior intervalo I sobre o qual essa solução está definida.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem. Somando 3y em ambos os lados,
\frac{dy}{dx}+3y=2x.
Aqui a equação tem a forma \dfrac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x) com P(x)=3 e Q(x)=2x. Método que vamos usar: fator integrante. Explico rapidinho o motivo: o fator integrante \mu(x) é uma função tal que multiplicando a equação por \mu(x) o lado esquerdo vira a derivada do produto \mu(x)y. A fórmula do fator integrante é
\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}.

Passo 3

Calcular o fator integrante usando P(x)=3:
\mu(x)=e^{\int 3\,dx}=e^{3x}.
Multiplicando a equação padrão por e^{3x}:
e^{3x}\frac{dy}{dx}+3e^{3x}y=2x e^{3x}.
Repare que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto e^{3x}y. De fato,
\frac{d}{dx}\bigl(e^{3x}y\bigr)=e^{3x}\frac{dy}{dx}+3e^{3x}y.
Portanto a equação fica
\frac{d}{dx}\bigl(e^{3x}y\bigr)=2x e^{3x}.

Passo 4

Integrar ambos os lados em relação a x:
e^{3x}y=\int 2x e^{3x}\,dx + C,
onde C é constante de integração. Agora preciso calcular a integral \int 2x e^{3x}\,dx. Vou fazer por partes. Escolho
u=2x\quad\Rightarrow\quad du=2\,dx,
dv=e^{3x}\,dx\quad\Rightarrow\quad v=\frac{1}{3}e^{3x}.
Pela fórmula de integração por partes \int u\,dv = uv-\int v\,du, temos
\int 2x e^{3x}\,dx = \frac{2x}{3}e^{3x}-\int \frac{1}{3}e^{3x}\cdot 2\,dx = \frac{2x}{3}e^{3x}-\frac{2}{3}\int e^{3x}\,dx.
Calcular a última integral:
\int e^{3x}\,dx=\frac{1}{3}e^{3x},
logo
\int 2x e^{3x}\,dx = \frac{2x}{3}e^{3x}-\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3}e^{3x} = e^{3x}\left(\frac{2x}{3}-\frac{2}{9}\right).

Passo 5

Substituindo na expressão obtida em Passo 4:
e^{3x}y = e^{3x}\left(\frac{2x}{3}-\frac{2}{9}\right)+C.
Dividindo ambos os lados por e^{3x} (que nunca é zero), obtemos a solução geral:
y(x)=\frac{2x}{3}-\frac{2}{9}+C e^{-3x}.
Observação didática: essa forma é a soma de uma solução particular \dfrac{2x}{3}-\dfrac{2}{9} (uma função polinomial) e da solução geral da homogênea \,Ce^{-3x}\,, que aparece sempre para equações lineares.

Passo 6

Aplicar a condição inicial y(0)=\dfrac{1}{3} para determinar C. Substituindo x=0 em y(x):
y(0)=0-\frac{2}{9}+C\cdot e^{0}=-\frac{2}{9}+C=\frac{1}{3}.
Logo
C=\frac{1}{3}+\frac{2}{9}.
Colocando no mesmo denominador 9:
\frac{1}{3}=\frac{3}{9},\quad \frac{3}{9}+\frac{2}{9}=\frac{5}{9},
então C=\dfrac{5}{9}.

Passo 7

Substituindo C=\dfrac{5}{9} na solução geral, obtemos a solução particular que satisfaz a condição inicial:
y(x)=\frac{2x}{3}-\frac{2}{9}+\frac{5}{9}e^{-3x}.
Breve comentário: a parte \dfrac{5}{9}e^{-3x} decai rapidamente quando x\to\infty, e a solução tende a comportar-se como a parte polinomial \dfrac{2x}{3}-\dfrac{2}{9} para grandes x.

Passo 8

Determinar o maior intervalo I onde a solução está definida. As funções que aparecem na equação original (o coeficiente de y, que é -3, e o termo 2x) são contínuas para todo x\in\mathbb{R}. Além disso a solução encontrada envolve exponenciais e polinômios, que são definidas para todo real. Pelo teorema de existência e unicidade (forma intuitiva: se os coeficientes são contínuos num intervalo que contém o ponto inicial, existe uma solução única nesse intervalo), a solução é definida para todo x\in(-\infty,\infty). Portanto o maior intervalo é toda a reta real.

Resposta

y(x)=\dfrac{2x}{3}-\dfrac{2}{9}+\dfrac{5}{9}e^{-3x}\n
I=(-\infty,\infty)

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