Resolva a equação homogênea e calcule o Wronskiano das soluções.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial homogênea de terceira ordem
Esse é um caso de equação linear com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar o método do polinômio característico e depois obter o Wronskiano das soluções fundamentais.
Passo 2
Escrevemos o polinômio característico associado à equação trocando
:
Passo 3
Fatoramos o polinômio:
As raízes são
Passo 4
Cada raiz gera uma solução fundamental da forma
. Logo, tomadas as constantes
, a solução geral é
Passo 5
Escolhemos como conjunto fundamental
O Wronskiano
desse conjunto é definido por
Passo 6
Calculamos as derivadas:
Substituindo no determinante:
Esse menor dá
Portanto
uma constante não nula, confirmando que as soluções são linearmente independentes.
Resposta
Solução geral:
Wronskiano: