Resolva a equação homogênea e calcule o Wronskiano das soluções.
y^{\prime \prime \prime}-4 y^{\prime}=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial homogênea de terceira ordem
y''' - 4y' = 0
Esse é um caso de equação linear com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar o método do polinômio característico e depois obter o Wronskiano das soluções fundamentais.

Passo 2

Escrevemos o polinômio característico associado à equação trocando y\mapsto e^{rx}:
r^3 - 4r = 0.

Passo 3

Fatoramos o polinômio:
r^3 - 4r = r\,(r^2 - 4) = r\,(r-2)\,(r+2) = 0.
As raízes são
r_1 = 0,\quad r_2 = 2,\quad r_3 = -2.

Passo 4

Cada raiz gera uma solução fundamental da forma e^{rx}. Logo, tomadas as constantes C_1,C_2,C_3, a solução geral é
y(x) = C_1\,e^{0\cdot x} + C_2\,e^{2x} + C_3\,e^{-2x} = C_1 + C_2\,e^{2x} + C_3\,e^{-2x}.

Passo 5

Escolhemos como conjunto fundamental
y_1(x)=1,\quad y_2(x)=e^{2x},\quad y_3(x)=e^{-2x}.
O Wronskiano W(x) desse conjunto é definido por
W(x) = \det \begin{pmatrix} y_1 & y_2 & y_3\\\ y_1'& y_2'& y_3'\\\ y_1''&y_2''&y_3'' \end{pmatrix}.

Passo 6

Calculamos as derivadas:
y_1'=0,\;y_1''=0,\quad y_2'=2e^{2x},\;y_2''=4e^{2x},\quad y_3'=-2e^{-2x},\;y_3''=4e^{-2x}.
Substituindo no determinante:
W(x)= \det\begin{pmatrix} 1 & e^{2x} & e^{-2x}\\\\ 0 & 2e^{2x} & -2e^{-2x}\\\\ 0 & 4e^{2x} & 4e^{-2x} \end{pmatrix} =1\cdot \det\begin{pmatrix} 2e^{2x} & -2e^{-2x}\\\\ 4e^{2x} & 4e^{-2x} \end{pmatrix}.
Esse menor dá
2e^{2x}\cdot4e^{-2x} - (-2e^{-2x})\cdot4e^{2x} =8 - (-8) =16.
Portanto
W(x)=16,
uma constante não nula, confirmando que as soluções são linearmente independentes.

Resposta

Solução geral:
y(x) = C_1 + C_2\,e^{2x} + C_3\,e^{-2x}.
Wronskiano:
W(x) = 16.

Exercícios relacionados