Resolva a equação homogênea e calcule o Wronskiano das soluções.
y^{\prime \prime}-8 y^{\prime}+16=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 8y' + 16y = 0
e, em seguida, o cálculo do Wronskiano das duas soluções fundamentais. Para isso, usaremos o método da equação característica e depois a definição de Wronskiano.

Passo 2

Formamos a equação característica associada substituindo y = e^{rx}:
r^2 - 8r + 16 = 0.
O discriminante é
\Delta = (-8)^2 - 4\cdot1\cdot16 = 64 - 64 = 0,
logo há raiz dupla r = \frac{8}{2} = 4. Em caso de raiz dupla, as duas soluções independentes são
y_1(x) = e^{4x}, \qquad y_2(x) = x\,e^{4x},
e a solução geral fica
y(x) = C_1 e^{4x} + C_2\,x\,e^{4x} = (C_1 + C_2 x)\,e^{4x}.

Passo 3

Agora calculamos as derivadas de y_1 e y_2:
y_1'(x) = 4e^{4x}, \qquad y_2'(x) = e^{4x} + 4x\,e^{4x} = (1 + 4x)\,e^{4x}.

Passo 4

Aplicamos a definição de Wronskiano:
W(y_1,y_2)(x) = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\[6pt] y_1' & y_2' \end{vmatrix} = y_1\,y_2' - y_2\,y_1'.
Substituindo, obtemos
W = e^{4x}\,\bigl((1+4x)e^{4x}\bigr) \;-\; \bigl(x\,e^{4x}\bigr)\,(4e^{4x}) = e^{8x}(1+4x - 4x) = e^{8x}.]

Resposta

A solução geral é
y(x) = (C_1 + C_2 x)\,e^{4x},
e o Wronskiano das soluções fundamentais \{e^{4x},\,x e^{4x}\} é
W(x) = e^{8x}.

Exercícios relacionados