Resolva a equação homogênea e calcule o Wronskiano das soluções.
y^{\prime \prime}+9 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 9y = 0
e depois calcular o Wronskiano de um par de soluções fundamentais. Para isso, vamos usar o método da equação característica e depois aplicar a definição de Wronskiano.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada trocando y por e^{rx}:
r^2 + 9 = 0.
Resolvendo para r, temos
r^2 = -9 \quad\Longrightarrow\quad r = \pm 3\,i.

Passo 3

Como as raízes são complexas conjugadas r = \pm 3i, a solução geral é
y(x) = C_1\cos\bigl(3x\bigr) + C_2\sin\bigl(3x\bigr),
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias. Um conjunto fundamental de soluções é
y_1(x) = \cos\bigl(3x\bigr), \quad y_2(x) = \sin\bigl(3x\bigr).

Passo 4

O Wronskiano de y_1 e y_2 é definido por
W(y_1,y_2)(x) = \begin{vmatrix} y_1(x) & y_2(x) \\[6pt] y_1'(x) & y_2'(x) \end{vmatrix}.
Primeiro calculamos as derivadas:
y_1'(x) = -3\sin\bigl(3x\bigr), \quad y_2'(x) = 3\cos\bigl(3x\bigr).
Agora o determinante:
W(y_1,y_2)(x) = \cos(3x)\cdot\bigl(3\cos(3x)\bigr) - \bigl(-3\sin(3x)\bigr)\cdot\sin(3x) = 3\cos^2(3x) + 3\sin^2(3x).
Usando \cos^2+\sin^2=1, concluímos
W(y_1,y_2)(x) = 3.]

Resposta

A solução geral é
y(x) = C_1\cos\bigl(3x\bigr) + C_2\sin\bigl(3x\bigr),
e o Wronskiano das soluções \cos(3x) e \sin(3x) é constante igual a
W = 3.

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