Resolva a equação integral dada para a função f\). \(\int_{0}^{\infty} f(x) \operatorname{sen} \alpha x d x= \begin{cases}1, & 0<\alpha<1 \\\\ 0, & \alpha>1\end{cases}

Passo 1

O enunciado nos dá a igualdade para todo \alpha>0\): \[\int_{0}^{\infty} f(x)\,\operatorname{sen}(\alpha x)\,dx = \begin{cases} 1, & 0<\alpha<1,\\[4pt] 0, & \alpha>1. \end{cases}
Informações relevantes fornecidas:
  • A função desconhecida é f(x)\], definida para \(x\ge 0.
  • A integral de f(x) multiplicada por \operatorname{sen}(\alpha x) no intervalo [0,\infty) é igual a uma função de \alpha que vale 1 quando 0<\alpha<1 e vale 0 quando \alpha>1.
    O que o enunciado pede:
  • Achar explicitamente a função f(x) que satisfaça essa relação para todos os \alpha>0.]

Passo 2

Escolha do método (sem cálculo ainda):
  • A igualdade tem a forma típica de uma transformada integral em \alpha: \alpha \mapsto \int_0^\infty f(x)\sin(\alpha x)\,dx. Isso é a transformada seno de f.
  • Método natural: usar a transformada seno inversa (ou a propriedade de que a transformada seno é invertível, com fator 2/\pi). Vou inverter essa transformada para obter f(x).
    Explicação curta e intuitiva do porquê: pensar na transformada seno como análoga à transformada de Fourier para funções pares/ímpares em [0,\infty). Se a transformada seno de f é conhecida (a função em \alpha dada no enunciado), existe uma fórmula que recupera f integrando essa transformada vezes \sin(\alpha x) com um fator de normalização.

Passo 3

Aula rápida sobre transformada seno e a fórmula de inversão (didática):
  • Definição: para uma função razoável f em [0,\infty), a transformada seno F(\alpha) é
F(\alpha)=\int_{0}^{\infty} f(x)\,\sin(\alpha x)\,dx.
Aqui x é a variável original (domínio da função f) e \alpha é a variável da transformada.
  • Fórmula de inversão (comentário intuitivo): sob hipóteses de regularidade adequadas, a transformada seno é invertível e a função original pode ser recuperada por
f(x)=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\infty} F(\alpha)\,\sin(\alpha x)\,d\alpha.
  • O motivo rápido (sem prova técnica completa): estendendo f de forma ímpar para (-\infty,\infty) e usando a transformada de Fourier, obtém-se essa fórmula com o fator 2/\pi. Na prática para exercícios de prova, usa-se diretamente essa fórmula de inversão da transformada seno quando F(\alpha) é conhecida.

Passo 4

Aplicando a fórmula de inversão ao nosso caso:
  • No enunciado a transformada seno F(\alpha)\) é a função peça \[F(\alpha)= \begin{cases} 1, & 0<\alpha<1,\\[4pt] 0, & \alpha>1. \end{cases}
  • Pela fórmula de inversão,
f(x)=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\infty} F(\alpha)\,\sin(\alpha x)\,d\alpha.
Como F(\alpha)=1\] para \(0<\alpha<1 e 0 para \alpha>1, o intervalo de integração reduz para [0,1]. Assim
f(x)=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{1}\sin(\alpha x)\,d\alpha.]

Passo 5

Calcular a integral \displaystyle\int_{0}^{1}\sin(\alpha x)\,d\alpha explicitamente:
  • Tratar x como parâmetro; integrar em \alpha. A primitiva de \sin(\alpha x) em \alpha é -\dfrac{\cos(\alpha x)}{x} (para x\neq 0). Portanto,
\int_{0}^{1}\sin(\alpha x)\,d\alpha = \left[-\frac{\cos(\alpha x)}{x}\right]_{\alpha=0}^{\alpha=1} = -\frac{\cos x}{x} + \frac{\cos 0}{x}.
Como \cos 0=1, obtemos
\int_{0}^{1}\sin(\alpha x)\,d\alpha = \frac{1-\cos x}{x}.
  • Logo, para x\neq 0,
f(x)=\frac{2}{\pi}\,\frac{1-\cos x}{x}.

Passo 6

Tratar o ponto x=0 e continuidade:
  • A expressão \dfrac{1-\cos x}{x} tem aparência indeterminada em x=0, então calculamos o limite quando x\to 0.
  • Usando a expansão em série (ou regra de l’Hôpital): \cos x = 1-\dfrac{x^{2}}{2}+o(x^{2}), então
\frac{1-\cos x}{x} \sim \frac{x^{2}/2}{x}=\frac{x}{2}\to 0 \quad\text{quando }x\to 0.
  • Portanto a extensão contínua no x=0 é f(0)=0.
  • Conclusão: podemos definir f para todo x\ge 0 por
f(x)=\frac{2}{\pi}\,\frac{1-\cos x}{x},
com a interpretação f(0)=0.

Passo 7

Breve comentário de verificação e observações para a prova (didática e prático):
  • A dedução usou a fórmula de inversão da transformada seno; em provas isso é um método padrão: reconhecer que \alpha\mapsto\int_0^\infty f(x)\sin(\alpha x)\,dx é a transformada seno e aplicar a inversa.
  • Sobre o valor no ponto de descontinuidade \alpha=1 da função transformada: transformadas integram funções possivelmente com descontinuidades; o valor no ponto da descontinuidade normalmente não afeta a reconstrução em quase todo \alpha. Na questão foi dado o valor para 0<\alpha<1 e \alpha>1, portanto não é preciso fixar F(1).
  • Na prova, se pedirem justificar a inversão, mencione as hipóteses de regularidade (por exemplo f integrável ou pertencente a espaços onde a transformada seno é invertível) ou faça a justificativa via extensão ímpar e transformada de Fourier.

Resposta

f(x)=\dfrac{2}{\pi}\dfrac{1-\cos x}{x} para x>0, com f(0)=0.

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