Resolva a equação integral dada para a função
Passo 1
O enunciado nos dá a igualdade para todo
Informações relevantes fornecidas:
- A função desconhecida é .
- A integral de
multiplicada por no intervalo é igual a uma função de que vale quando e vale quando .
O que o enunciado pede: - Achar explicitamente a função
que satisfaça essa relação para todos os .]
Passo 2
Escolha do método (sem cálculo ainda):
- A igualdade tem a forma típica de uma transformada integral em
: . Isso é a transformada seno de . - Método natural: usar a transformada seno inversa (ou a propriedade de que a transformada seno é invertível, com fator
). Vou inverter essa transformada para obter .
Explicação curta e intuitiva do porquê: pensar na transformada seno como análoga à transformada de Fourier para funções pares/ímpares em. Se a transformada seno de é conhecida (a função em dada no enunciado), existe uma fórmula que recupera integrando essa transformada vezes com um fator de normalização.
Passo 3
Aula rápida sobre transformada seno e a fórmula de inversão (didática):
- Definição: para uma função razoável
em , a transformada seno é
Aqui
é a variável original (domínio da função
) e
é a variável da transformada.
- Fórmula de inversão (comentário intuitivo): sob hipóteses de regularidade adequadas, a transformada seno é invertível e a função original pode ser recuperada por
- O motivo rápido (sem prova técnica completa): estendendo
de forma ímpar para e usando a transformada de Fourier, obtém-se essa fórmula com o fator . Na prática para exercícios de prova, usa-se diretamente essa fórmula de inversão da transformada seno quando é conhecida.
Passo 4
Aplicando a fórmula de inversão ao nosso caso:
- No enunciado a transformada seno
- Pela fórmula de inversão,
Como
e
para
, o intervalo de integração reduz para
. Assim
Passo 5
Calcular a integral
explicitamente:
- Tratar
como parâmetro; integrar em . A primitiva de em é (para ). Portanto,
Como
, obtemos
- Logo, para
,
Passo 6
Tratar o ponto
e continuidade:
- A expressão
tem aparência indeterminada em , então calculamos o limite quando . - Usando a expansão em série (ou regra de l’Hôpital):
, então
- Portanto a extensão contínua no
é . - Conclusão: podemos definir
para todo por
com a interpretação
.
Passo 7
Breve comentário de verificação e observações para a prova (didática e prático):
- A dedução usou a fórmula de inversão da transformada seno; em provas isso é um método padrão: reconhecer que
é a transformada seno e aplicar a inversa. - Sobre o valor no ponto de descontinuidade
da função transformada: transformadas integram funções possivelmente com descontinuidades; o valor no ponto da descontinuidade normalmente não afeta a reconstrução em quase todo . Na questão foi dado o valor para e , portanto não é preciso fixar . - Na prova, se pedirem justificar a inversão, mencione as hipóteses de regularidade (por exemplo
integrável ou pertencente a espaços onde a transformada seno é invertível) ou faça a justificativa via extensão ímpar e transformada de Fourier.