Resolva a equação integral dada para a função
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a função
que satisfaz, para todo parâmetro
,
Informações dadas:
- A integral é sobre
no intervalo . - O lado direito
é uma constante (independente de ); é um parâmetro dado. - A incógnita é a função
(definida para ).
A tarefa é determinar(pode ser uma função regular ou uma distribuição) que torne essa igualdade verdadeira para todos .
Passo 2
Vamos reconhecer a transformação envolvida e recordar a fórmula de inversão (explicação didática).
- Definição (transformada cosseno): para uma função
definida em , define-se
Aqui
é a transformada cosseno de
; a variável de integração é
e
é o parâmetro de transformação.
- Fórmula de inversão (intuição e forma): se
for conhecida e adequada, a função original pode ser recuperada por
Esta fórmula vem da transformada de Fourier por extensão par de
para
e uso da inversão da transformada de Fourier. O fator
é o fator padrão na convenção de transformada cosseno usada aqui; explicito: a transformada de Fourier completa satisfaz
, e ao trabalhar com a parte par (cosseno) surge exatamente essa inversão com
.
Passo 3
Aplicar a inversão ao caso dado. No enunciado temos
(constante, independe de
). Substituindo na fórmula de inversão:
Passo 4
Avaliar a integral
no sentido de distribuições.
- Identidade de Fourier (distribucional):
. Tomando a parte real desta identidade obtém-se
- Como
é função par, . Portanto, em sentido de distribuições,
- Substituindo isso em
obtemos
Aqui
é a distribuição de Dirac concentrada em
.
Passo 5
Verificação direta (compatibilidade com o fato de integração no intervalo
):
- Usando a propriedade da delta ao integrar em um intervalo que contém
na fronteira, convém lembrar que para test functions quando se interpreta a massa da delta na fronteira como metade (essa é a convenção natural ao restringir uma delta central a ). Então, calculando a integral original com a solução proposta:
o que coincide exatamente com o enunciado. Assim a solução é consistente.