Resolva a equação integral dada para a função f.
\int_{0}^{\infty} f(x) \cos \alpha x d x=e^{-a}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a função f que satisfaz, para todo parâmetro \alpha,
\int_{0}^{\infty} f(x)\cos\alpha x\,dx = e^{-a}.
Informações dadas:
  • A integral é sobre x no intervalo [0,\infty).
  • O lado direito e^{-a} é uma constante (independente de \alpha); a é um parâmetro dado.
  • A incógnita é a função f(x) (definida para x\ge0).
    A tarefa é determinar f(x) (pode ser uma função regular ou uma distribuição) que torne essa igualdade verdadeira para todos \alpha.

Passo 2

Vamos reconhecer a transformação envolvida e recordar a fórmula de inversão (explicação didática).
  • Definição (transformada cosseno): para uma função f definida em [0,\infty), define-se
F(\alpha)=\int_{0}^{\infty} f(x)\cos\alpha x\,dx.
Aqui F(\alpha) é a transformada cosseno de f; a variável de integração é x e \alpha é o parâmetro de transformação.
  • Fórmula de inversão (intuição e forma): se F for conhecida e adequada, a função original pode ser recuperada por
f(x)=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\infty} F(\alpha)\cos\alpha x\,d\alpha.
Esta fórmula vem da transformada de Fourier por extensão par de f para (-\infty,\infty) e uso da inversão da transformada de Fourier. O fator \tfrac{2}{\pi} é o fator padrão na convenção de transformada cosseno usada aqui; explicito: a transformada de Fourier completa satisfaz \int_{-\infty}^{\infty}e^{i k x}\,dk=2\pi\delta(x), e ao trabalhar com a parte par (cosseno) surge exatamente essa inversão com \tfrac{2}{\pi}.

Passo 3

Aplicar a inversão ao caso dado. No enunciado temos F(\alpha)=e^{-a} (constante, independe de \alpha). Substituindo na fórmula de inversão:
f(x)=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\infty} e^{-a}\cos\alpha x\,d\alpha =\frac{2e^{-a}}{\pi}\int_{0}^{\infty}\cos\alpha x\,d\alpha.

Passo 4

Avaliar a integral \displaystyle \int_{0}^{\infty}\cos\alpha x\,d\alpha no sentido de distribuições.
  • Identidade de Fourier (distribucional): \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{i k x}\,dk = 2\pi\delta(x). Tomando a parte real desta identidade obtém-se
\int_{-\infty}^{\infty}\cos(kx)\,dk = 2\pi\delta(x).
  • Como \cos(kx) é função par, \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\cos(kx)\,dk = 2\int_{0}^{\infty}\cos(kx)\,dk. Portanto, em sentido de distribuições,
\int_{0}^{\infty}\cos(kx)\,dk = \pi\delta(x).
  • Substituindo isso em f(x) obtemos
f(x)=\frac{2e^{-a}}{\pi}\cdot \pi\delta(x)=2e^{-a}\delta(x).
Aqui \delta(x) é a distribuição de Dirac concentrada em x=0.

Passo 5

Verificação direta (compatibilidade com o fato de integração no intervalo [0,\infty)):
  • Usando a propriedade da delta ao integrar em um intervalo que contém 0 na fronteira, convém lembrar que \displaystyle \int_{0}^{\infty}\delta(x)\,\varphi(x)\,dx=\tfrac{1}{2}\varphi(0) para test functions \varphi quando se interpreta a massa da delta na fronteira como metade (essa é a convenção natural ao restringir uma delta central a [0,\infty)). Então, calculando a integral original com a solução proposta:
\int_{0}^{\infty} \bigl(2e^{-a}\delta(x)\bigr)\cos\alpha x\,dx =2e^{-a}\cdot\frac{1}{2}\cos(0)=e^{-a},
o que coincide exatamente com o enunciado. Assim a solução é consistente.

Resposta

f(x)=2e^{-a}\delta(x)

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