Determine as representações por integral do co-seno e do seno da função indicada.
f(x)=e^{-x} \cos x, x>0

Passo 1

O enunciado pede: determinar as representações por integral do co-seno e do seno da função
f(x)=e^{-x}\cos x,\quad x>0.
Ou seja, calcular explicitamente, como funções do parâmetro \omega (ou k), as integrais
F_c(\omega)=\int_{0}^{\infty} f(x)\cos(\omega x)\,dx
e
F_s(\omega)=\int_{0}^{\infty} f(x)\sin(\omega x)\,dx.
Informações dadas:
  • f(x)=e^{-x}\cos x definida para x>0.
  • Precisamos obter as duas integrais acima como expressões explícitas em \omega.

Passo 2

Ideia do método (sem detalhes técnicos ainda): vamos usar identidades trigonométricas para transformar produtos como \cos x\cos(\omega x) e \cos x\sin(\omega x) em somas de cossenos ou senos simples, e depois usar integrais tipo Laplace conhecidas da forma
\int_{0}^{\infty} e^{-ax}\cos(bx)\,dx=\frac{a}{a^{2}+b^{2}},\qquad \int_{0}^{\infty} e^{-ax}\sin(bx)\,dx=\frac{b}{a^{2}+b^{2}},
válidas para a>0 e b\in\mathbb{R}. Vou explicar rapidamente de onde vem essas fórmulas: considerar \int_{0}^{\infty} e^{-ax}e^{i b x}\,dx=\int_{0}^{\infty} e^{-(a-i b)x}\,dx=\frac{1}{a-i b} (porque \Re(a-i b)=a>0 garante convergência). Separando parte real e imaginária obtemos as duas fórmulas acima:
\Re\!\left(\frac{1}{a-i b}\right)=\frac{a}{a^{2}+b^{2}},\qquad \Im\!\left(\frac{1}{a-i b}\right)=\frac{b}{a^{2}+b^{2}}.
No nosso caso usaremos a=1.

Passo 3

Calcular F_c(\omega). Primeiro aplicar a identidade produto-para-soma
\cos x\cos(\omega x)=\tfrac{1}{2}\big(\cos((1-\omega)x)+\cos((1+\omega)x)\big).
Assim
F_c(\omega)=\int_{0}^{\infty} e^{-x}\cos x\cos(\omega x)\,dx =\tfrac{1}{2}\int_{0}^{\infty} e^{-x}\cos((1-\omega)x)\,dx+\tfrac{1}{2}\int_{0}^{\infty} e^{-x}\cos((1+\omega)x)\,dx.
Cada integral é da forma \int_{0}^{\infty} e^{-x}\cos(\beta x)\,dx com \beta=1-\omega ou \beta=1+\omega. Usando a fórmula com a=1:
\int_{0}^{\infty} e^{-x}\cos(\beta x)\,dx=\frac{1}{1+\beta^{2}}.
Portanto
F_c(\omega)=\tfrac{1}{2}\left(\frac{1}{1+(1-\omega)^{2}}+\frac{1}{1+(1+\omega)^{2}}\right).

Passo 4

Simplificar F_c(\omega). Calcule os denominadores:
1+(1-\omega)^{2}=1+(1-2\omega+\omega^{2})=\omega^{2}-2\omega+2,
1+(1+\omega)^{2}=1+(1+2\omega+\omega^{2})=\omega^{2}+2\omega+2.
Então
F_c(\omega)=\tfrac{1}{2}\left(\frac{1}{\omega^{2}-2\omega+2}+\frac{1}{\omega^{2}+2\omega+2}\right).
Colocando em denominador comum e somando:
\frac{1}{\omega^{2}-2\omega+2}+\frac{1}{\omega^{2}+2\omega+2} =\frac{(\omega^{2}+2\omega+2)+(\omega^{2}-2\omega+2)}{(\omega^{2}-2\omega+2)(\omega^{2}+2\omega+2)}.
O numerador é 2\omega^{2}+4=2(\omega^{2}+2). O denominador é do tipo (A-B)(A+B)=A^{2}-B^{2} com A=\omega^{2}+2 e B=2\omega, logo
(\omega^{2}-2\omega+2)(\omega^{2}+2\omega+2)=(\omega^{2}+2)^{2}-(2\omega)^{2}=\omega^{4}+4.
Portanto
F_c(\omega)=\tfrac{1}{2}\cdot\frac{2(\omega^{2}+2)}{\omega^{4}+4}=\frac{\omega^{2}+2}{\omega^{4}+4}.

Passo 5

Calcular F_s(\omega). Usar identidade produto-para-soma
\cos x\sin(\omega x)=\tfrac{1}{2}\big(\sin((1+\omega)x)-\sin((1-\omega)x)\big).
Assim
F_s(\omega)=\int_{0}^{\infty} e^{-x}\cos x\sin(\omega x)\,dx =\tfrac{1}{2}\int_{0}^{\infty} e^{-x}\sin((1+\omega)x)\,dx-\tfrac{1}{2}\int_{0}^{\infty} e^{-x}\sin((1-\omega)x)\,dx.
Usando a fórmula com a=1:
\int_{0}^{\infty} e^{-x}\sin(\beta x)\,dx=\frac{\beta}{1+\beta^{2}},
com \beta=1+\omega e \beta=1-\omega. Então
F_s(\omega)=\tfrac{1}{2}\left(\frac{1+\omega}{1+(1+\omega)^{2}}-\frac{1-\omega}{1+(1-\omega)^{2}}\right).

Passo 6

Simplificar F_s(\omega). Usando as mesmas expressões dos denominadores vistas antes:
F_s(\omega)=\tfrac{1}{2}\left(\frac{1+\omega}{\omega^{2}+2\omega+2}-\frac{1-\omega}{\omega^{2}-2\omega+2}\right).
Colocando em denominador comum \omega^{4}+4 e fazendo as multiplicações (expansões mostradas a seguir dão cancelamentos):
(1+\omega)(\omega^{2}-2\omega+2)=(\omega^{3}-\omega^{2}+2),
(1-\omega)(\omega^{2}+2\omega+2)=(-\omega^{3}-\omega^{2}+2).
A diferença dessas duas expressões é 2\omega^{3}. Assim o numerador final multiplicado por \tfrac{1}{2} é \omega^{3}. Logo
F_s(\omega)=\frac{\omega^{3}}{\omega^{4}+4}.

Passo 7

Verificação rápida (sanity check, serve para ganhar confiança): para \omega=0 temos
F_c(0)=\frac{0^{2}+2}{0^{4}+4}=\frac{2}{4}=\tfrac{1}{2},
que coincide com \int_{0}^{\infty} e^{-x}\cos x\,dx=\dfrac{1}{1^{2}+1^{2}}=\tfrac{1}{2}. E F_s(0)=0, também consistente.

Resposta

\displaystyle \int_{0}^{\infty} e^{-x}\cos x\cos(\omega x)\,dx=\frac{\omega^{2}+2}{\omega^{4}+4}
\displaystyle \int_{0}^{\infty} e^{-x}\cos x\sin(\omega x)\,dx=\frac{\omega^{3}}{\omega^{4}+4}

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