Determine as representações por integral do co-seno e do seno da função indicada.
Passo 1
O enunciado pede: determinar as representações por integral do co-seno e do seno da função
Ou seja, calcular explicitamente, como funções do parâmetro
(ou
), as integrais
e
Informações dadas:
-
definida para . - Precisamos obter as duas integrais acima como expressões explícitas em
.
Passo 2
Ideia do método (sem detalhes técnicos ainda): vamos usar identidades trigonométricas para transformar produtos como
e
em somas de cossenos ou senos simples, e depois usar integrais tipo Laplace conhecidas da forma
válidas para
e
. Vou explicar rapidamente de onde vem essas fórmulas: considerar
(porque
garante convergência). Separando parte real e imaginária obtemos as duas fórmulas acima:
No nosso caso usaremos
.
Passo 3
Calcular
. Primeiro aplicar a identidade produto-para-soma
Assim
Cada integral é da forma
com
ou
. Usando a fórmula com
:
Portanto
Passo 4
Simplificar
. Calcule os denominadores:
Então
Colocando em denominador comum e somando:
O numerador é
. O denominador é do tipo
com
e
, logo
Portanto
Passo 5
Calcular
. Usar identidade produto-para-soma
Assim
Usando a fórmula com
:
com
e
. Então
Passo 6
Simplificar
. Usando as mesmas expressões dos denominadores vistas antes:
Colocando em denominador comum
e fazendo as multiplicações (expansões mostradas a seguir dão cancelamentos):
A diferença dessas duas expressões é
. Assim o numerador final multiplicado por
é
. Logo
Passo 7
Verificação rápida (sanity check, serve para ganhar confiança): para
temos
que coincide com
. E
, também consistente.