Resolva os pvi(1,0 ponto cada item):

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de segunda ordem com impulso em t=2 e degrau retardado em t=3:
ddoty(t) + 2doty(t) - 2y(t) = u(t-3) + de<a(t-2),
com condições iniciais ;y(0)=0; e ;doty(0)=1.
Vamos usar a transformada de Laplace para tratar o impulso de<a e o degrau u(t-3).

Passo 2

Aplicando L em ambos os lados, lembrando que
Lddot y=s^2Y(s)-s,y(0)-dot y(0), Ldot y=sY(s)-y(0),
obtemos
l(s^2Y(s)-1r)+2l(sY(s)r)-2Y(s) =e^-3ss+e^-2s

Passo 3

Agrupando Y(s) e isolando, vem
Y(s)l(s^2+2s-2r)-1=e^-3ss+e^-2s,
logo
Y(s) =1s^2+2s-2 +e^-2ss^2+2s-2 +e^-3ss,(s^2+2s-2)

Passo 4

Note que
s^2+2s-2=(s+1)^2-(raiz3)^2
Logo
L^-1ltfrac1s^2+2s-2r =1raiz3,e^-tsinh!l(raiz3tr),u(t) equiv h(t)
Assim
L^-1ltfrace^-2ss^2+2s-2r = h(t-2),u(t-2),
L^-1ltfrace^-3ss,(s^2+2s-2)r =integral0^,t-3h(tau),dtau;u(t-3)

Passo 5

Reunindo as três parcelas, a solução y(t) fica, em forma piecewise:
para 0<= t<2:
y(t)=h(t),
para 2<= t<3:
y(t)=h(t)+h(t-2),
para t>=3:
y(t)=h(t)+h(t-2)+integral0^,t-3h(tau),dtau

Resposta

Definindo
h(t)=1raiz3,e^-tsinh!l(raiz3tr),u(t),
temos
y(t)= h(t), & 0<= t<2,[6pt] h(t)+h(t-2), & 2<= t<3,[6pt] h(t)+h(t-2)+integral0^,t-3h(tau),dtau, & t>=3 ]

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