Resolva a equação integro-diferencial a seguir
Passo 1
Beleza, a gente tem essa equação integro-diferencial para resolver:
O assunto aqui é usar transformada de Laplace, que vai transformar derivadas e integrais numa equação algébrica em função de
. Pra isso, precisamos saber:
- A transformada de Laplace de
e de . - A transformada de Laplace de
. - Como isolar
e depois voltar para com frações parciais.
Passo 2
Aplicando a transformada de Laplace (que chamamos de
) em cada termo:
-
, porque . -
. -
, já que . - Do lado direito,
.
Somando tudo, a equação vira:
Passo 3
Agora a gente agrupa os termos com
e isola:
Então
Passo 4
Para inverter a transformada, a gente separa em frações parciais:
Calculando
(substituindo
ou comparando coeficientes), chega-se a:
Passo 5
Voltando pro tempo, cada pedaço vira exponencial:
Aí a gente já tem nossa solução completa.