Resolva a equação integro-diferencial a seguir
d yd t+4 y+3 integral0^t y d t=6 e^-2 t, y(0)=-1

Passo 1

Beleza, a gente tem essa equação integro-diferencial para resolver:
dydt + 4,y(t) + 3 integral0^t y(tau),dtau ;=; 6,e^-2t, y(0)=-1
O assunto aqui é usar transformada de Laplace, que vai transformar derivadas e integrais numa equação algébrica em função de . Pra isso, precisamos saber:
  • A transformada de Laplace de e de .
  • A transformada de Laplace de .
  • Como isolar e depois voltar para com frações parciais.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace (que chamamos de l(s,Y(s)+1r) + 4,Y(s) + 3sY(s) = 6s+2 ) em cada termo:
  1. , porque .
  2. .
  3. , já que .
  4. Do lado direito, .
Somando tudo, a equação vira:

Passo 3

Agora a gente agrupa os termos com Y(s)l(s + 4 + tfrac3sr) + 1 = 6s+2 Longrightarrow Y(s)l(tfracs^2 + 4s + 3sr) = 6s+2 - 1 = 6 - (s+2)s+2 = 4 - ss+2 e isola:
Y(s) = s,(4 - s)(s+2),(s^2 + 4s + 3) = -s^2 + 4s(s+2)(s+1)(s+3)
Então

Passo 4

Para inverter a transformada, a gente separa em frações parciais:
-s^2+4s(s+1)(s+2)(s+3) = As+1 + Bs+2 + Cs+3
Calculando A = -tfrac52, B = 12, C = -tfrac212 (substituindo ou comparando coeficientes), chega-se a:

Passo 5

Voltando pro tempo, cada pedaço vira exponencial:
y(t) = -tfrac52e^-t ;+; 12 e^-2t ;-;tfrac212e^-3t
Aí a gente já tem nossa solução completa.

Resposta

boxedy(t) = -tfrac52e^-t + 12,e^-2t - tfrac212e^-3t

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