na placa retangular \{(x,y)\mid 0<x<a,\;0<y<b\}. Vou assumir (porque é o problema clássico e condizente com a formulação dada) as condições de contorno do tipo Dirichlet
u(x,0)=0,\quad u(x,b)=f(x)\quad\text{para }0\le x\le a,
onde f(x) é a função prescrita na aresta superior y=b.
Informações relevantes que temos: a PDE (Laplace), o domínio retangular 0<x<a,\;0<y<b e as quatro condições de contorno acima (três nulas e uma geral f(x)). O objetivo é encontrar u(x,y) no interior que satisfaça tudo isso.
Passo 2
Método escolhido: separação de variáveis + desenvolvimento em série de Fourier. Por quê (breve e didático): a PDE é linear e homogênea, o domínio é cartesiano retangular e três das condições de contorno são homogêneas (zero), o que torna a separação de variáveis natural; as soluções fundamentais em x serão senos (devido às condições nulas em x=0 e x=a) e, para cada modo em x, a dependência em y será hiperbólica. No final superpomos todos os modos e ajustamos os coeficientes para atender u(x,b)=f(x) usando séries de senos (ortogonalidade).
Passo 3
Começamos assumindo uma solução separável
u(x,y)=X(x)\,Y(y).
Substituindo na equação de Laplace obtemos
X''(x)Y(y)+X(x)Y''(y)=0.
Dividindo por X(x)Y(y) (assumindo funções não nulas)
\frac{X''(x)}{X(x)}+\frac{Y''(y)}{Y(y)}=0.
Como o primeiro termo depende apenas de x e o segundo apenas de y, cada termo deve ser igual a uma constante oposta; escolhemos a constante de separação -\lambda, ou seja
Se \lambda\le 0 não conseguimos satisfazer simultaneamente X(0)=X(a)=0 com solução não trivial. Portanto buscamos \lambda>0 e escrevemos \lambda=\mu^{2} com \mu>0.
Para \lambda=\mu^{2} o problema em x é
X''+\mu^{2}X=0,\quad X(0)=0,\;X(a)=0.
As soluções são combinações de senos e cossenos; impondo X(0)=0 elimina o cosseno, restando
X(x)=A\sin(\mu x).
Para ter X(a)=0 com A\neq 0 precisamos \sin(\mu a)=0, ou seja
onde os A_n são constantes a determinar para satisfazer a condição no contorno y=b.
Passo 7
Impondo u(x,b)=f(x)\) obtemos a igualdade de funções em \(x\):
\[\sum_{n=1}^{\infty} A_n \sin\!\left(\frac{n\pi x}{a}\right)\operatorname{sinh}\!\left(\frac{n\pi b}{a}\right)=f(x),\qquad 0<x<a.
Isso significa que f(x) é representada pela série de senos com coeficientes A_n\operatorname{sinh}\!\left(\frac{n\pi b}{a}\right). Para encontrar A_n usamos a ortogonalidade das funções \sin\!\left(\frac{n\pi x}{a}\right) em [0,a]:
Observação didática curta sobre interpretação: cada termo é um modo que satisfaz Laplace e as condições homogeneizadas; a função f é decomposta nesses modos (coeficientes dados pela integral) e cada modo é “propagado” no interior pela função \operatorname{sinh}\!\left(\frac{n\pi y}{a}\right) que cresce com y até y=b, mas a divisão por \operatorname{sinh}\!\left(\frac{n\pi b}{a}\right) normaliza para que no topo y=b a combinação recupere f(x).
Passo 9
Pequeno exemplo ilustrativo (opcional para fixar a ideia): se f(x)=U_0 (constante), então os coeficientes são
\int_{0}^{a} U_0\sin\!\left(\frac{n\pi x}{a}\right)\,dx = \frac{2U_0 a}{n\pi}\quad\text{quando \(n\) é ímpar, e \(0\) quando \(n\) é par},éíé
e assim teríamos os A_n apropriados só para modos ímpares. Isso mostra como calcular coeficientes em situações concretas na prova.