Resolva a equação de Laplace para uma placa retangular sujeita às condições de contorno indicadas:
\begin{gathered} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0 \\\ y=b \\\ x=0 \quad \text { Placa } 0<x<a, 0<y<b \quad x=a \\\ y=0 \end{gathered}

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação de Laplace
\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0
na placa retangular \{(x,y)\mid 0<x<a,\;0<y<b\}. Vou assumir (porque é o problema clássico e condizente com a formulação dada) as condições de contorno do tipo Dirichlet
u(0,y)=0,\quad u(a,y)=0\quad\text{para }0\le y\le b,
u(x,0)=0,\quad u(x,b)=f(x)\quad\text{para }0\le x\le a,
onde f(x) é a função prescrita na aresta superior y=b.
Informações relevantes que temos: a PDE (Laplace), o domínio retangular 0<x<a,\;0<y<b e as quatro condições de contorno acima (três nulas e uma geral f(x)). O objetivo é encontrar u(x,y) no interior que satisfaça tudo isso.

Passo 2

Método escolhido: separação de variáveis + desenvolvimento em série de Fourier. Por quê (breve e didático): a PDE é linear e homogênea, o domínio é cartesiano retangular e três das condições de contorno são homogêneas (zero), o que torna a separação de variáveis natural; as soluções fundamentais em x serão senos (devido às condições nulas em x=0 e x=a) e, para cada modo em x, a dependência em y será hiperbólica. No final superpomos todos os modos e ajustamos os coeficientes para atender u(x,b)=f(x) usando séries de senos (ortogonalidade).

Passo 3

Começamos assumindo uma solução separável
u(x,y)=X(x)\,Y(y).
Substituindo na equação de Laplace obtemos
X''(x)Y(y)+X(x)Y''(y)=0.
Dividindo por X(x)Y(y) (assumindo funções não nulas)
\frac{X''(x)}{X(x)}+\frac{Y''(y)}{Y(y)}=0.
Como o primeiro termo depende apenas de x e o segundo apenas de y, cada termo deve ser igual a uma constante oposta; escolhemos a constante de separação -\lambda, ou seja
\frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda,\qquad \frac{Y''(y)}{Y(y)}=\lambda,
levando aos dois ODEs
X''(x)+\lambda X(x)=0,
Y''(y)-\lambda Y(y)=0.

Passo 4

Analisamos as possibilidades para \lambda.
  • Se \lambda\le 0 não conseguimos satisfazer simultaneamente X(0)=X(a)=0 com solução não trivial. Portanto buscamos \lambda>0 e escrevemos \lambda=\mu^{2} com \mu>0.
Para \lambda=\mu^{2} o problema em x é
X''+\mu^{2}X=0,\quad X(0)=0,\;X(a)=0.
As soluções são combinações de senos e cossenos; impondo X(0)=0 elimina o cosseno, restando
X(x)=A\sin(\mu x).
Para ter X(a)=0 com A\neq 0 precisamos \sin(\mu a)=0, ou seja
\mu a=n\pi,\qquad n=1,2,3,\dots
Logo os autovalores e autofunções em x são
\lambda_n=\left(\frac{n\pi}{a}\right)^{2},\qquad X_n(x)=\sin\!\left(\frac{n\pi x}{a}\right),\qquad n=1,2,\dots

Passo 5

Para cada \lambda_n o correspondente problema em y é
Y''-\left(\frac{n\pi}{a}\right)^{2}Y=0.
A solução geral é
Y(y)=B\operatorname{cosh}\!\left(\frac{n\pi y}{a}\right)+C\operatorname{sinh}\!\left(\frac{n\pi y}{a}\right).
Impondo u(x,0)=0 para todo x exige Y(0)=0, isto é
Y(0)=B\operatorname{cosh}(0)+C\operatorname{sinh}(0)=B\cdot 1 + C\cdot 0 =0 \implies B=0.
Portanto, para cada modo n temos
Y_n(y)=C_n\operatorname{sinh}\!\left(\frac{n\pi y}{a}\right).

Passo 6

Pela linearidade (superposição) a solução geral é soma sobre todos os modos n:
u(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty} A_n \sin\!\left(\frac{n\pi x}{a}\right)\operatorname{sinh}\!\left(\frac{n\pi y}{a}\right),
onde os A_n são constantes a determinar para satisfazer a condição no contorno y=b.

Passo 7

Impondo u(x,b)=f(x)\) obtemos a igualdade de funções em \(x\): \[\sum_{n=1}^{\infty} A_n \sin\!\left(\frac{n\pi x}{a}\right)\operatorname{sinh}\!\left(\frac{n\pi b}{a}\right)=f(x),\qquad 0<x<a.
Isso significa que f(x) é representada pela série de senos com coeficientes A_n\operatorname{sinh}\!\left(\frac{n\pi b}{a}\right). Para encontrar A_n usamos a ortogonalidade das funções \sin\!\left(\frac{n\pi x}{a}\right) em [0,a]:
\int_{0}^{a}\sin\!\left(\frac{m\pi x}{a}\right)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{a}\right)\,dx = \begin{cases} 0, & m\neq n,\\[4pt] \displaystyle \frac{a}{2}, & m=n. \end{cases}
Multiplicamos ambos os lados da expansão por \sin\!\left(\frac{m\pi x}{a}\right)\] e integramos de \(0 a a. Só fica o termo n=m, obtendo
A_m \operatorname{sinh}\!\left(\frac{m\pi b}{a}\right)\cdot \frac{a}{2} = \int_{0}^{a} f(x)\sin\!\left(\frac{m\pi x}{a}\right)\,dx.
Assim os coeficientes são
A_m = \frac{2}{a\operatorname{sinh}\!\left(\frac{m\pi b}{a}\right)}\int_{0}^{a} f(x)\sin\!\left(\frac{m\pi x}{a}\right)\,dx,\qquad m=1,2,\dots]

Passo 8

Substituindo A_n na série obtemos a solução explicitamente:
u(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty} \left[\frac{2}{a\operatorname{sinh}\!\left(\frac{n\pi b}{a}\right)}\int_{0}^{a} f(s)\sin\!\left(\frac{n\pi s}{a}\right)\,ds\right]\sin\!\left(\frac{n\pi x}{a}\right)\operatorname{sinh}\!\left(\frac{n\pi y}{a}\right).
Observação didática curta sobre interpretação: cada termo é um modo que satisfaz Laplace e as condições homogeneizadas; a função f é decomposta nesses modos (coeficientes dados pela integral) e cada modo é “propagado” no interior pela função \operatorname{sinh}\!\left(\frac{n\pi y}{a}\right) que cresce com y até y=b, mas a divisão por \operatorname{sinh}\!\left(\frac{n\pi b}{a}\right) normaliza para que no topo y=b a combinação recupere f(x).

Passo 9

Pequeno exemplo ilustrativo (opcional para fixar a ideia): se f(x)=U_0 (constante), então os coeficientes são
\int_{0}^{a} U_0\sin\!\left(\frac{n\pi x}{a}\right)\,dx = \frac{2U_0 a}{n\pi}\quad\text{quando \(n\) é ímpar, e \(0\) quando \(n\) é par},éíé
e assim teríamos os A_n apropriados só para modos ímpares. Isso mostra como calcular coeficientes em situações concretas na prova.

Resposta

u(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{2}{a\operatorname{sinh}\!\left(\dfrac{n\pi b}{a}\right)}\int_{0}^{a} f(s)\sin\!\left(\dfrac{n\pi s}{a}\right)\,ds\right]\sin\!\left(\dfrac{n\pi x}{a}\right)\operatorname{sinh}\!\left(\dfrac{n\pi y}{a}\right).

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