( \mathbf{2 , 5} pt.) Calcule as seguintes integrais de contorno, onde C é o círculo |z|=3, percorrido no sentido anti-horário. Use a Fórmula Integral de Cauchy:
f\left(z_{0}\right)=\frac{1}{2 \pi i} \oint_{C} \frac{f(z)}{z-z_{0}} d z \text { ou } f^{(n)}\left(z_{0}\right)=\frac{n!}{2 \pi i} \oint_{C} \frac{f(z)}{\left(z-z_{0}\right)^{n+1}} d z
\left(0,5\right. pt.) Calcule \oint_{C} d z \frac{\operatorname{cosh} (z)}{z^{2}-4 z}. (Sugestão: \frac{1}{z^{2}-4 z}=\frac{1}{z(z-4)}=\frac{A}{z}+\frac{B}{z-4} )

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de contorno
\oint_{C} \frac{\operatorname{cosh}(z)}{z^{2}-4z}\,dz
onde C é o círculo |z|=3 percorrido no sentido anti-horário. Informações dadas relevantes:
\frac{1}{z^{2}-4z}=\frac{1}{z(z-4)}=\frac{A}{z}+\frac{B}{z-4}
Sugestão: usar decomposição em frações simples e a Fórmula Integral de Cauchy. Não se resolve nada aqui, apenas identifiquei o que é pedido e os dados.

Passo 2

Fazemos a decomposição parcial. Partimos de
\frac{1}{z(z-4)}=\frac{A}{z}+\frac{B}{z-4}.
Multiplicando por z(z-4) obtemos
1 = A(z-4)+Bz = (A+B)z - 4A.
Comparando coeficientes polinomiais: do termo em z tem-se A+B=0 e do termo constante tem-se -4A=1. Assim
A = -\frac{1}{4},\qquad B = -A = \frac{1}{4}.

Passo 3

Reescrevemos o integrando usando a decomposição:
\frac{\operatorname{cosh}(z)}{z^{2}-4z} = \operatorname{cosh}(z)\left(\frac{A}{z}+\frac{B}{z-4}\right) = A\frac{\operatorname{cosh}(z)}{z} + B\frac{\operatorname{cosh}(z)}{z-4}.
As singularidades do integrando são em \,z=0 e \,z=4. O círculo |z|=3 contém z=0 (pois |0|<3) e não contém z=4 (pois |4|=4>3). Além disso \operatorname{cosh}(z) é uma função inteira (analítica em todo \mathbb{C}). Agora invocamos a Fórmula Integral de Cauchy na sua versão simples:
f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_{C}\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz,
o que implica, quando z_0 está dentro de C,
\oint_{C}\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = 2\pi i\,f(z_0),
e se z_0 está fora de C a integral vale 0 (porque a função é analítica no interior e na vizinhança do contorno).

Passo 4

Aplicamos a fórmula ao primeiro termo. Tomando f(z)=\operatorname{cosh}(z) e z_0=0 (que está dentro de C), temos
\oint_{C}\frac{\operatorname{cosh}(z)}{z}\,dz = 2\pi i\,\operatorname{cosh}(0).
Como \operatorname{cosh}(0)=1, obtemos
\oint_{C}\frac{\operatorname{cosh}(z)}{z}\,dz = 2\pi i.
Multiplicando pelo coeficiente A=-\tfrac{1}{4},
A\oint_{C}\frac{\operatorname{cosh}(z)}{z}\,dz = -\frac{1}{4}\cdot 2\pi i = -\frac{\pi i}{2}.

Passo 5

Para o segundo termo, B\frac{\operatorname{cosh}(z)}{z-4}, o polo em z_0=4 está fora do círculo |z|=3. Como \operatorname{cosh}(z) é inteira, a função \frac{\operatorname{cosh}(z)}{z-4} é analítica no interior de C; portanto
\oint_{C}\frac{\operatorname{cosh}(z)}{z-4}\,dz = 0.
Multiplicando pelo coeficiente B=\tfrac{1}{4} continua dando 0.

Passo 6

Somando as contribuições dos dois termos, o valor da integral é
-\frac{\pi i}{2} + 0 = -\frac{\pi i}{2}.

Resposta

-\dfrac{\pi i}{2}

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