(
pt.) Calcule as seguintes integrais de contorno, onde
é o círculo
, percorrido no sentido anti-horário. Use a Fórmula Integral de Cauchy:
pt.) Calcule
. (Sugestão:
)
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral de contorno
onde
é o círculo
percorrido no sentido anti-horário. Informações dadas relevantes:
Sugestão: usar decomposição em frações simples e a Fórmula Integral de Cauchy. Não se resolve nada aqui, apenas identifiquei o que é pedido e os dados.
Passo 2
Fazemos a decomposição parcial. Partimos de
Multiplicando por
obtemos
Comparando coeficientes polinomiais: do termo em
tem-se
e do termo constante tem-se
. Assim
Passo 3
Reescrevemos o integrando usando a decomposição:
As singularidades do integrando são em
e
. O círculo
contém
(pois
) e não contém
(pois
). Além disso
é uma função inteira (analítica em todo
). Agora invocamos a Fórmula Integral de Cauchy na sua versão simples:
o que implica, quando
está dentro de
,
e se
está fora de
a integral vale
(porque a função é analítica no interior e na vizinhança do contorno).
Passo 4
Aplicamos a fórmula ao primeiro termo. Tomando
e
(que está dentro de
), temos
Como
, obtemos
Multiplicando pelo coeficiente
,
Passo 5
Para o segundo termo,
, o polo em
está fora do círculo
. Como
é inteira, a função
é analítica no interior de
; portanto
Multiplicando pelo coeficiente
continua dando
.
Passo 6
Somando as contribuições dos dois termos, o valor da integral é