(
é o círculo, centrado em
, cujo raio é dado pela distância entre
e o ponto mais próximo onde a função não é analítica.
(a)
pt.) A função
é uma função harmônica[cite: 34
. Determine a função conjugada harmônica
tal que
seja uma função analítica, usando as equações de Cauchy-Riemann.
(b)
.
em torno de
.
(c)
.
primeiros termos da Série de Taylor de
torno de
, para o ramo principal onde
.
(d)
.
em Série de Taylor em torno de
.
(e)
.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado tem cinco itens (a) a (e). Vou esclarecer o que cada item pede e quais dados foram fornecidos:
- (a) Foi dada a função
. O enunciado afirma que é harmônica e pede para determinar uma função conjugada harmônica tal que seja analítica, usando as equações de Cauchy–Riemann. - (b) Pede o domínio de convergência da Série de Taylor de
em torno de . - (c) Pede os quatro primeiros termos da Série de Taylor de
em torno de , no ramo principal com . - (d) Pede o desenvolvimento em Série de Taylor, em torno de
, de , usando o resultado anterior. - (e) Pede o domínio de convergência da série obtida no item (d).
Informações relevantes dadas pelo enunciado: a expressão explícita de
no item (a) e a função
nos itens (b)-(d). Não há figuras ou tabelas.
Passo 2
Conceitos necessários e estratégia para (a). Vou explicar as equações de Cauchy–Riemann e como elas nos permitem achar a conjugada harmônica
.
- Se
é analítica (holomorfa) numa região, as equações de Cauchy–Riemann valem:
Aqui
é a derivada parcial de
em relação a
, etc. Essas duas equações garantem que as derivadas parciais de
e
estão relacionadas de modo que
seja complexamente diferenciável.
- Como
foi dada, calculamos e explicitamente e então usamos as equações para obter e . Depois integramos uma das equações parciais para recuperar (aparecerá uma função “constante” de integração que depende da outra variável; determinamos essa função impondo compatibilidade com a outra equação).
Agora calculo
e
passo-a-passo.
Calculemos
. Temos
Derivando em
(produto: derivada de
é
, e a derivada de
em
é
porque
é constante):
Colocando em forma compacta:
Agora
. Diferenciando em
:
a derivada de em
é
,
a derivada de em
é
.
Somando e multiplicando por :
a derivada de
a derivada de
Somando e multiplicando por
Passo 3
Aplicando as equações de Cauchy–Riemann para encontrar
.
Pelas equações:
Vou integrar a expressão para
em relação a
(tratando
como constante) para obter
até uma função arbitrária de
.
Escrevendo
como soma de termos que fatoram
e
:
Integramos termo a termo em
.
- Integral de
em . Uma forma prática é observar a derivada de :
Logo
- Integral de
em : como é constante em relação a ,
Somando os resultados e reunindo as constantes (vai restar uma função que depende só de
, que chamamos
), obtemos
Passo 4
Determinar
exigindo compatibilidade com
.
Compute
a partir da fórmula obtida:
Derivando:
Mas pela Cauchy–Riemann já tínhamos
Comparando as duas expressões segue que
, ou seja,
é constante.
Podemos escolher essa constante igual a zero (a conjugada harmônica é determinada a menos de uma constante aditiva). Assim, uma escolha simples é
(Se quiser, uma constante adicionada também gera uma função analítica; normalmente escolhemos a constante
.)
Passo 5
Breve verificação de que
é harmônica (opcional, para reforçar o entendimento).
Para
ser harmônica é preciso
. Já temos
e
. Calculando as segundas derivadas (pode-se fazer, embora o enunciado já diga que
é harmônica); ao realizar as derivadas e somá‑las obtém‑se zero. Isso confirma que existe localmente uma conjugada harmônica
, compatível com o resultado que encontramos.
Passo 6
Agora resolvo (b) e (c): Série de Taylor de
em torno de
.
Para obter a série, partimos da série geométrica para
válida para
:
Integrando termo a termo em
(no caminho de
a
, o que é válido dentro do disco de convergência), obtemos
Reindexando (colocando
) dá a forma clássica
com a constante de integração escolhida para que
(ramo principal).
Portanto o raio de convergência é a distância do centro
até o ponto singular mais próximo da função
. A função
tem singularidade (ramificação) em
, que está à distância
de
. Logo o disco de convergência é
.
Os quatro primeiros termos (potências de
de ordem
a
) são:
Passo 7
Item (d): desenvolver
em Série de Taylor em torno de
, usando os resultados anteriores.
Escrevemos
Usando as séries já conhecidas (válidas para
):
Subtraindo:
Note que para
par temos
, e para
ímpar temos
. Assim apenas os termos de potência ímpar permanecem, com coeficiente
quando
é ímpar. Reescrevendo com
:
Os primeiros quatro termos não nulos (ou seja, primeiros quatro termos ímpares) são:
Passo 8
Item (e): domínio de convergência da série de (d).
A série de (d) foi obtida como diferença de duas séries com raio de convergência
: a de
(singular em
) e a de
(singular em
). A expansão conjunta só é válida onde ambas as séries individuais convergem, ou seja, na interseção dos discos
e
, que é simplesmente
. Portanto o domínio de convergência da série de (d) é o disco
.
Resposta
(a)
(constant
, escolha usual
).\n
(b) Domínio de convergência: .\n
(c) (os 4 primeiros termos mostrados).\n
(d) \n
(e) Domínio de convergência: .
(b) Domínio de convergência:
(c)
(d)
(e) Domínio de convergência: