( \mathbf{2 , 5 ~ p t . ) ~ O ~ d o m í n i o ~ d e ~ c o n v e r g ência ~ d e ~ u m a ~ s ér i e ~ d e ~ p o t ências ~ e m ~ t o r n o ~ d e ~} z_{0} é o círculo, centrado em z_{0}, cujo raio é dado pela distância entre z_{0} e o ponto mais próximo onde a função não é analítica.
(a) \left(0,5\right. pt.) A função u(x, y)=e^{-x}(x \sin y-y \cos y) é uma função harmônica[cite: 34 ]. Determine a função conjugada harmônica v(x, y) tal que f(z)=u+i v seja uma função analítica, usando as equações de Cauchy-Riemann.
(b) (0,5 \mathrm{pt}. ) Determine o domínio de convergência da Série de Taylor de g(z)=\ln (1+z)íêé em torno de z_{0}=0.
(c) (\mathbf{0 , 5} \mathrm{pt}. ) Obtenha os 4 primeiros termos da Série de Taylor de g(z)=\ln (1+z) \mathrm{em} torno de z_{0}=0, para o ramo principal onde f(0)=0.
(d) (0,5 \mathrm{pt}. ) Use o resultado anterior para desenvolver f(z)=\ln \left(\frac{1+z}{1-z}\right) em Série de Taylor em torno de z_{0}=0.
(e) (0,5 \mathrm{pt}. ) Determine o domínio de convergência da série obtida no item (d).íêé

Passo 1

O enunciado tem cinco itens (a) a (e). Vou esclarecer o que cada item pede e quais dados foram fornecidos:
  • (a) Foi dada a função u(x,y)=e^{-x}\bigl(x\sin y - y\cos y\bigr). O enunciado afirma que u é harmônica e pede para determinar uma função conjugada harmônica v(x,y) tal que f(z)=u+iv seja analítica, usando as equações de Cauchy–Riemann.
  • (b) Pede o domínio de convergência da Série de Taylor de g(z)=\ln(1+z) em torno de z_0=0.
  • (c) Pede os quatro primeiros termos da Série de Taylor de g(z)=\ln(1+z) em torno de z_0=0, no ramo principal com f(0)=0.
  • (d) Pede o desenvolvimento em Série de Taylor, em torno de z_0=0, de f(z)=\ln\!\left(\dfrac{1+z}{1-z}\right), usando o resultado anterior.
  • (e) Pede o domínio de convergência da série obtida no item (d).
Informações relevantes dadas pelo enunciado: a expressão explícita de u(x,y) no item (a) e a função g(z)=\ln(1+z) nos itens (b)-(d). Não há figuras ou tabelas.

Passo 2

Conceitos necessários e estratégia para (a). Vou explicar as equações de Cauchy–Riemann e como elas nos permitem achar a conjugada harmônica v.
  • Se f(z)=u(x,y)+i v(x,y) é analítica (holomorfa) numa região, as equações de Cauchy–Riemann valem:
u_x = v_y,\qquad u_y = -v_x.
Aqui u_x é a derivada parcial de u em relação a x, etc. Essas duas equações garantem que as derivadas parciais de u e v estão relacionadas de modo que f seja complexamente diferenciável.
  • Como u foi dada, calculamos u_x e u_y explicitamente e então usamos as equações para obter v_x e v_y. Depois integramos uma das equações parciais para recuperar v (aparecerá uma função “constante” de integração que depende da outra variável; determinamos essa função impondo compatibilidade com a outra equação).
Agora calculo u_x e u_y passo-a-passo.
Calculemos u_x. Temos
u(x,y)=e^{-x}\bigl(x\sin y - y\cos y\bigr).
Derivando em x (produto: derivada de e^{-x} é -e^{-x}, e a derivada de x\sin y - y\cos y em x é \sin y porque y é constante):
u_x = -e^{-x}\bigl(x\sin y - y\cos y\bigr) + e^{-x}\sin y.
Colocando em forma compacta:
u_x = e^{-x}\bigl((1-x)\sin y + y\cos y\bigr).
Agora u_y. Diferenciando em y:
a derivada de x\sin y em y é x\cos y,
a derivada de -y\cos y em y é -\cos y + y\sin y.
Somando e multiplicando por e^{-x}:
u_y = e^{-x}\bigl((x-1)\cos y + y\sin y\bigr).

Passo 3

Aplicando as equações de Cauchy–Riemann para encontrar v.
Pelas equações:
v_y = u_x = e^{-x}\bigl((1-x)\sin y + y\cos y\bigr),
v_x = -u_y = e^{-x}\bigl((1-x)\cos y - y\sin y\bigr).
Vou integrar a expressão para v_x em relação a x (tratando y como constante) para obter v até uma função arbitrária de y.
Escrevendo v_x como soma de termos que fatoram \cos y e \sin y:
v_x = \cos y\cdot e^{-x}(1-x) \;-\; y\sin y\cdot e^{-x}.
Integramos termo a termo em x.
  1. Integral de e^{-x}(1-x) em x. Uma forma prática é observar a derivada de x e^{-x}:
\frac{d}{dx}\bigl(xe^{-x}\bigr) = e^{-x}-xe^{-x} = e^{-x}(1-x).
Logo
\int e^{-x}(1-x)\,dx = x e^{-x} + C_1.
  1. Integral de -y\sin y\cdot e^{-x} em x: como y\sin y é constante em relação a x,
\int -y\sin y\; e^{-x}\,dx = -y\sin y\cdot(-e^{-x}) + C_2 = y\sin y\; e^{-x} + C_2.
Somando os resultados e reunindo as constantes (vai restar uma função que depende só de y, que chamamos C(y)), obtemos
v(x,y)=e^{-x}\bigl(x\cos y + y\sin y\bigr) + C(y).

Passo 4

Determinar C(y) exigindo compatibilidade com v_y.
Compute v_y a partir da fórmula obtida:
v_y = \frac{\partial}{\partial y}\Bigl(e^{-x}(x\cos y + y\sin y) + C(y)\Bigr).
Derivando:
v_y = e^{-x}\bigl(-x\sin y + \sin y + y\cos y\bigr) + C'(y) = e^{-x}\bigl((1-x)\sin y + y\cos y\bigr) + C'(y).
Mas pela Cauchy–Riemann já tínhamos
v_y = e^{-x}\bigl((1-x)\sin y + y\cos y\bigr).
Comparando as duas expressões segue que C'(y)=0, ou seja, C(y) é constante.
Podemos escolher essa constante igual a zero (a conjugada harmônica é determinada a menos de uma constante aditiva). Assim, uma escolha simples é
v(x,y)=e^{-x}\bigl(x\cos y + y\sin y\bigr).
(Se quiser, uma constante adicionada também gera uma função analítica; normalmente escolhemos a constante 0.)

Passo 5

Breve verificação de que u é harmônica (opcional, para reforçar o entendimento).
Para u ser harmônica é preciso \Delta u = u_{xx}+u_{yy}=0. Já temos u_x e u_y. Calculando as segundas derivadas (pode-se fazer, embora o enunciado já diga que u é harmônica); ao realizar as derivadas e somá‑las obtém‑se zero. Isso confirma que existe localmente uma conjugada harmônica v, compatível com o resultado que encontramos.

Passo 6

Agora resolvo (b) e (c): Série de Taylor de g(z)=\ln(1+z) em torno de z_0=0.
Para obter a série, partimos da série geométrica para \dfrac{1}{1+z} válida para |z|<1:
\frac{1}{1+z}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n z^n,\qquad |z|<1.
Integrando termo a termo em z (no caminho de 0 a z, o que é válido dentro do disco de convergência), obtemos
\ln(1+z)=\int_0^z \frac{1}{1+w}\,dw = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\int_0^z w^n\,dw = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{z^{\,n+1}}{n+1}.
Reindexando (colocando n+1=k) dá a forma clássica
\ln(1+z)=\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\frac{z^k}{k},\qquad |z|<1,
com a constante de integração escolhida para que \ln(1)=0 (ramo principal).
Portanto o raio de convergência é a distância do centro 0 até o ponto singular mais próximo da função \ln(1+z). A função \ln(1+z) tem singularidade (ramificação) em z=-1, que está à distância 1 de 0. Logo o disco de convergência é |z|<1.
Os quatro primeiros termos (potências de z de ordem 1 a 4) são:
\ln(1+z)=z - \frac{z^2}{2} + \frac{z^3}{3} - \frac{z^4}{4} + \cdots .

Passo 7

Item (d): desenvolver f(z)=\ln\!\left(\dfrac{1+z}{1-z}\right) em Série de Taylor em torno de 0, usando os resultados anteriores.
Escrevemos
\ln\!\left(\frac{1+z}{1-z}\right)=\ln(1+z)-\ln(1-z).
Usando as séries já conhecidas (válidas para |z|<1):
\ln(1+z)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{z^n}{n},\qquad \ln(1-z) = -\sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^n}{n}.
Subtraindo:
\ln(1+z)-\ln(1-z)=\sum_{n=1}^{\infty}\left((-1)^{n+1}+\;1\right)\frac{z^n}{n}.
Note que para n par temos (-1)^{n+1}+1=0, e para n ímpar temos (-1)^{n+1}+1=2. Assim apenas os termos de potência ímpar permanecem, com coeficiente 2/n quando n é ímpar. Reescrevendo com n=2k+1:
\ln\!\left(\frac{1+z}{1-z}\right)=2\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^{2k+1}}{2k+1},\qquad |z|<1.
Os primeiros quatro termos não nulos (ou seja, primeiros quatro termos ímpares) são:
2z + \frac{2z^3}{3} + \frac{2z^5}{5} + \frac{2z^7}{7} + \cdots.

Passo 8

Item (e): domínio de convergência da série de (d).
A série de (d) foi obtida como diferença de duas séries com raio de convergência 1: a de \ln(1+z) (singular em z=-1) e a de \ln(1-z) (singular em z=1). A expansão conjunta só é válida onde ambas as séries individuais convergem, ou seja, na interseção dos discos |z|<1 e |z|<1, que é simplesmente |z|<1. Portanto o domínio de convergência da série de (d) é o disco |z|<1.

Resposta

(a) v(x,y)=e^{-x}\bigl(x\cos y + y\sin y\bigr)+C (constant C, escolha usual C=0).\n
(b) Domínio de convergência: |z|<1.\n
(c) \ln(1+z)=z-\dfrac{z^2}{2}+\dfrac{z^3}{3}-\dfrac{z^4}{4}+\cdots (os 4 primeiros termos mostrados).\n
(d) \displaystyle \ln\!\left(\frac{1+z}{1-z}\right)=2\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^{2k+1}}{2k+1}=2z+\frac{2z^3}{3}+\frac{2z^5}{5}+\frac{2z^7}{7}+\cdots.\n
(e) Domínio de convergência: |z|<1.

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