Resolva, em R, a equação: \left|\begin{array}{cccc}2^{x} & 0 & 1 & 2 \\\\ 1 & 2 & 1 & -3 \\\\ 0 & 0 & -1 & 1 \\\\ -3 & -1 & 2 & 0\end{array}\right|=-79.

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a equação
\det\begin{pmatrix} 2^{x} & 0 & 1 & 2 \\[6pt] 1 & 2 & 1 & -3 \\[6pt] 0 & 0 & -1 & 1 \\[6pt] -3 & -1 & 2 & 0 \end{pmatrix} = -79.
O conteúdo envolvido é cálculo de determinante de matriz 4 \times 4 e solução de equação exponencial. Vamos chamar a = 2^{x} e expressar o determinante em função de a.]

Passo 2

Como a terceira linha é (0,\;0,\;-1,\;1), expandimos o determinante por essa linha:
\det A = (-1)^{3+3}(-1)\,M_{3,3} \;+\;(-1)^{3+4}(1)\,M_{3,4} = -\,M_{3,3}\;-\;M_{3,4},
onde M_{3,3} e M_{3,4} são os menores complementares obtidos removendo a linha 3 e a coluna 3 ou 4, respectivamente.

Passo 3

O menor M_{3,3} é o determinante da submatriz formada por linhas 1,2,4 e colunas 1,2,4:
M_{3,3} =\det\begin{pmatrix} a & 0 & 2 \\[4pt] 1 & 2 & -3 \\[4pt] -3 & -1 & 0 \end{pmatrix}.
Calculando por expansão na primeira linha:
M_{3,3} = a\det\begin{pmatrix}2 & -3\\\\ -1 & 0\end{pmatrix} +2\det\begin{pmatrix}1 & 2\\\\ -3 & -1\end{pmatrix} = a\bigl(2\cdot0 -(-3)(-1)\bigr) +2\bigl(1\cdot(-1) -2\cdot(-3)\bigr) =-3a + 10.]

Passo 4

O menor M_{3,4} é o determinante da submatriz formada por linhas 1,2,4 e colunas 1,2,3:
M_{3,4} =\det\begin{pmatrix} a & 0 & 1 \\[4pt] 1 & 2 & 1 \\[4pt] -3 & -1 & 2 \end{pmatrix}.
Pela primeira linha:
M_{3,4} = a\det\begin{pmatrix}2 & 1\\\\ -1 & 2\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 2\\\\ -3 & -1\end{pmatrix} = a(2\cdot2 -1\cdot(-1)) + \bigl(1\cdot(-1)-2\cdot(-3)\bigr) =5a + 5.]

Passo 5

Substituindo em \det A = -M_{3,3}-M_{3,4}:
\det A = -\bigl(-3a+10\bigr) -\bigl(5a+5\bigr) =3a -10 -5a -5 =-2a -15.
A equação \det A=-79 fica
-2a -15 = -79 \quad\Longrightarrow\quad -2a = -64 \quad\Longrightarrow\quad a = 32.
Como a=2^{x}, temos 2^{x}=32=2^{5}, logo x=5.

Resposta

x = 5

Exercícios relacionados