25 Calcule: \left|\begin{array}{ccccc}2 & 2 & 3 & -4 & 2 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 4 & 0 & 2 & 1 \\\\ 0 & -5 & 5 & 1 & 4 \\\\ 0 & 1 & 0 & -1 & 2\end{array}\right|.

Passo 1

O enunciado pede o valor do determinante da matriz
D = \begin{vmatrix} 2 & 2 & 3 & -4 & 2 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 4 & 0 & 2 & 1 \\\\ 0 & -5 & 5 & 1 & 4 \\\\ 0 & 1 & 0 & -1 & 2 \end{vmatrix}.
Como a primeira coluna tem quatro zeros, vamos usar o desenvolvimento por cofatores ao longo dessa coluna para simplificar o cálculo.

Passo 2

Ao desenvolver D pela primeira coluna, o único elemento não nulo é a_{11}=2. Logo
D = 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 4 & 0 & 2 & 1 \\\\ -5 & 5 & 1 & 4 \\\\ 1 & 0 & -1 & 2 \end{vmatrix}.
Chamemos esse 4\times 4 de M.

Passo 3

No determinante
M = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 4 & 0 & 2 & 1 \\\\ -5 & 5 & 1 & 4 \\\\ 1 & 0 & -1 & 2 \end{vmatrix}
a primeira linha tem apenas a_{11}=1 diferente de zero. Desenvolvendo por essa linha,
M = 1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 2 & 1 \\\\ 5 & 1 & 4 \\\\ 0 & -1 & 2 \end{vmatrix}.
Chamemos esse 3\times 3 de N.

Passo 4

Para
N = \begin{vmatrix} 0 & 2 & 1 \\\\ 5 & 1 & 4 \\\\ 0 & -1 & 2 \end{vmatrix},
usamos a fórmula de Sarrus ou a expansão geral:
\det(N) =0\,(1\cdot2 - 4\cdot(-1)) -2\,(5\cdot2 - 4\cdot0) +1\,(5\cdot(-1)-1\cdot0) =-25.
Logo M = -25.

Passo 5

Voltando a D, temos
D = 2 \cdot M = 2 \cdot (-25) = -50.

Resposta

-50

Exercícios relacionados