Sejam f(x)=\ln (x) e g(x)=e^{x}-1. Determine f \circ g e o domínio da função composta.

Passo 1

O enunciado nos dá as funções f(x)=\ln(x) cujo domínio é (0,\infty), g(x)=e^{x}-1 cujo domínio é \mathbb{R},
e pede a composição f\circ g e seu domínio. Para isso, vamos usar a definição de função composta e as restrições de domínio de f.

Passo 2

Pela definição de composição,
(f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr)=\ln\bigl(e^{x}-1\bigr).

Passo 3

O domínio de f\circ g é o conjunto de x em que g(x) está no domínio de f. Como g(x)=e^{x}-1 e f exige argumento positivo, precisamos de
e^{x}-1>0
ou seja
e^{x}>1\implies x>0.
Além disso, g está definido para todo x. Portanto, o domínio da composta é (0,\infty).

Resposta

(f\circ g)(x)=\ln(e^{x}-1)
Domínio: (0,\infty)

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