Resolva a equação logarítmica abaixo, determinando o valor de
:
Passo 1
O enunciado pede: determinar o valor de
que satisfaz a equação
Informações relevantes dadas:
Condições de existência (argumentos dos logaritmos devem ser positivos):
Resolvendo essas desigualdades obtemos
Portanto, qualquer solução deve satisfazer
.
Passo 2
Vamos recordar uma propriedade essencial de logaritmos que usaremos aqui:
válida quando
,
,
e
.
Explicando cada parte: é a base do logaritmo (aqui
),
e
são os argumentos (expressões positivas). A propriedade diz que subtrair dois logaritmos de mesma base equivale a tomar o logaritmo do quociente dos argumentos. Exemplo numérico rápido para fixar:
.
Explicando cada parte:
Passo 3
Aplicando a propriedade ao lado direito da equação:
Logo a equação original fica
Como ambas as expressões são logaritmos na mesma base
e os argumentos são positivos (lembrar do domínio
), podemos igualar os argumentos:
Passo 4
Agora resolvemos a equação algébrica
Multiplicamos ambos os lados por
(permitido pois, no domínio,
):
Passo 5
Expandindo o produto passo a passo:
Calculando cada termo:
Somando:
Portanto a equação fica
Passo 6
Subtraindo
de ambos os lados:
Fatorando
:
Pela propriedade do produto nulo, as possibilidades são
Passo 7
Aplicamos a condição de existência
(Passo 1). Da dupla
,
não satisfaz
e deve ser rejeitado. Sobrou
. Fazendo a verificação direta na equação original:
as duas partes coincidem, logo
é solução válida.