Resolva a equação logarítmica abaixo, determinando o valor de \mathbf{x} :
\log _{10}(4 x-2)=\log _{10} 2-\log _{10}(2 x-1)

Passo 1

O enunciado pede: determinar o valor de x que satisfaz a equação
\log_{10}(4x-2)=\log_{10}2-\log_{10}(2x-1).
Informações relevantes dadas:
\log_{10}(4x-2)=\log_{10}2-\log_{10}(2x-1).
Condições de existência (argumentos dos logaritmos devem ser positivos):
4x-2>0 \quad\text{e}\quad 2x-1>0.
Resolvendo essas desigualdades obtemos
x>\tfrac{1}{2}.
Portanto, qualquer solução deve satisfazer x>\tfrac{1}{2}.

Passo 2

Vamos recordar uma propriedade essencial de logaritmos que usaremos aqui:
\log_a u - \log_a v = \log_a\!\left(\frac{u}{v}\right),
válida quando a>0, a\neq1, u>0 e v>0.
Explicando cada parte: a é a base do logaritmo (aqui a=10), u e v são os argumentos (expressões positivas). A propriedade diz que subtrair dois logaritmos de mesma base equivale a tomar o logaritmo do quociente dos argumentos. Exemplo numérico rápido para fixar: \log_{10}8-\log_{10}2=\log_{10}(8/2)=\log_{10}4.

Passo 3

Aplicando a propriedade ao lado direito da equação:
\log_{10}2-\log_{10}(2x-1)=\log_{10}\!\left(\frac{2}{2x-1}\right).
Logo a equação original fica
\log_{10}(4x-2)=\log_{10}\!\left(\frac{2}{2x-1}\right).
Como ambas as expressões são logaritmos na mesma base 10 e os argumentos são positivos (lembrar do domínio x>\tfrac{1}{2}), podemos igualar os argumentos:
4x-2=\frac{2}{2x-1}.

Passo 4

Agora resolvemos a equação algébrica
4x-2=\frac{2}{2x-1}.
Multiplicamos ambos os lados por 2x-1 (permitido pois, no domínio, 2x-1>0):
(4x-2)(2x-1)=2.

Passo 5

Expandindo o produto passo a passo:
(4x-2)(2x-1)=4x\cdot 2x + 4x\cdot(-1) + (-2)\cdot 2x + (-2)\cdot(-1).
Calculando cada termo:
4x\cdot 2x = 8x^2,\quad 4x\cdot(-1)=-4x,\quad (-2)\cdot 2x=-4x,\quad (-2)\cdot(-1)=2.
Somando:
8x^2-4x-4x+2 = 8x^2-8x+2.
Portanto a equação fica
8x^2-8x+2=2.

Passo 6

Subtraindo 2 de ambos os lados:
8x^2-8x=0.
Fatorando 8x:
8x(x-1)=0.
Pela propriedade do produto nulo, as possibilidades são
x=0 \quad\text{ou}\quad x=1.

Passo 7

Aplicamos a condição de existência x>\tfrac{1}{2} (Passo 1). Da dupla \{0,1\}, x=0 não satisfaz x>\tfrac{1}{2} e deve ser rejeitado. Sobrou x=1. Fazendo a verificação direta na equação original:
\log_{10}(4\cdot 1-2)=\log_{10}2,
\log_{10}2-\log_{10}(2\cdot 1-1)=\log_{10}2-\log_{10}1=\log_{10}2-0=\log_{10}2,
as duas partes coincidem, logo x=1 é solução válida.

Resposta

x=1

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