Resolva a equação logarítmica \boldsymbol{\operatorname { l o g }}_{\mathrm{x}+3}(\mathbf{5 x}-\mathbf{1})=\mathbf{1}.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação \log_{x+3}(5x-1)=1. Informações dadas e condições necessárias (domínio):
\text{base} = x+3,\qquad \text{argumento} = 5x-1.
As condições para o logaritmo estarem definidas são:
x+3>0,\qquad x+3\neq1,\qquad 5x-1>0.
Estas desigualdades equivalem a
x>-3,\qquad x\neq-2,\qquad x>\frac{1}{5}.
A interseção dessas condições é x>\frac{1}{5} (porque \tfrac{1}{5}>-3 e \tfrac{1}{5}\neq-2). Portanto qualquer solução precisa satisfazer x>\tfrac{1}{5}.

Passo 2

Vou usar a definição de logaritmo e uma propriedade básica. Definição:
\log_{b}(a)=c \iff b^{c}=a,
desde que b>0, b\neq1 e a>0. Aplicando isso ao caso c=1, temos a propriedade simples:
\log_{b}(a)=1 \iff b^{1}=a \iff a=b.
Ou seja, se o logaritmo de a na base b vale 1, então a e b são iguais (desde que as condições de domínio sejam satisfeitas).

Passo 3

Aplicando a propriedade do passo anterior à equação \log_{x+3}(5x-1)=1, obtemos a igualdade entre argumento e base:
5x-1 = x+3.

Passo 4

Resolvo agora a equação linear 5x-1=x+3 passo a passo:
5x-1 = x+3
Subtrai-se x de ambos os lados:
5x - x -1 = 3
ou seja
4x -1 = 3.
Agora soma-se 1 em ambos os lados:
4x = 4.
Divide-se por 4:
x = 1.

Passo 5

Verifico se x=1 satisfaz as condições do domínio encontradas no Passo 1:
x>\frac{1}{5}\quad\text{?}\qquad 1>\frac{1}{5}\\ \text{(verdadeiro)}.
Além disso,
\text{base}=x+3=1+3=4>0,\quad \text{e}\quad \text{base}\neq1;
\text{argumento}=5x-1=5\cdot1-1=4>0.
Portanto x=1 é uma solução válida da equação original.

Resposta

x=1

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