Descubra o valor de x para que a igualdade abaixo seja válida.
Passo 1
O enunciado pede: “Descubra o valor de
) que satisfaz a igualdade abaixo”:
Informações relevantes dadas:
- A expressão contém logaritmos de base
. - Os argumentos dos logaritmos são
e . - Para que os logaritmos estejam definidos, é necessário que os argumentos sejam positivos, isto é:
Passo 2
Propriedade de logaritmos que vamos usar (explicada): para logaritmos de mesma base, a diferença transforma-se em logaritmo do quociente:
O que isso significa? Se você toma o logaritmo da razão
, obtém a diferença dos logs de
e de
. Exemplo rápido:
.
Passo 3
Aplicando a propriedade à equação dada. Tomando
e
, temos:
Passo 4
Agora usamos que a função logaritmo na mesma base é injetora (ou seja, se
então
). Portanto:
Isso virou uma equação algébrica simples; vamos resolvê-la passo a passo:
Multiplicando ambos os lados por :
Multiplicando ambos os lados por
Isolando
: subtraia
de ambos os lados:
Divida por
:
Passo 5
Verificação do domínio e substituição: precisamos garantir que
satisfaça
e
.
- Para
: é verdadeiro. - Calcule
para : , também verdadeiro.
Agora cheque na equação original (substituindo):
o que confirma que
satisfaz a igualdade.