Descubra o valor de x para que a igualdade abaixo seja válida.
\log _{2}(3 x+10)-\log _{2} x=\log _{2} 5

Passo 1

O enunciado pede: “Descubra o valor de x ) que satisfaz a igualdade abaixo”:
\log_{2}(3x+10) - \log_{2} x = \log_{2}5
Informações relevantes dadas:
  • A expressão contém logaritmos de base 2.
  • Os argumentos dos logaritmos são 3x+10 e x.
  • Para que os logaritmos estejam definidos, é necessário que os argumentos sejam positivos, isto é:
3x+10>0\quad\text{e}\quad x>0.

Passo 2

Propriedade de logaritmos que vamos usar (explicada): para logaritmos de mesma base, a diferença transforma-se em logaritmo do quociente:
\log_{a}A - \log_{a}B = \log_{a}\!\left(\frac{A}{B}\right).
O que isso significa? Se você toma o logaritmo da razão A/B, obtém a diferença dos logs de A e de B. Exemplo rápido: \log_{10}100 - \log_{10}2 = \log_{10}\!\left(\frac{100}{2}\right)=\log_{10}50.

Passo 3

Aplicando a propriedade à equação dada. Tomando A=3x+10 e B=x, temos:
\log_{2}\!\left(\frac{3x+10}{x}\right)=\log_{2}5.

Passo 4

Agora usamos que a função logaritmo na mesma base é injetora (ou seja, se \log_{2}U=\log_{2}V então U=V). Portanto:
\frac{3x+10}{x}=5.
Isso virou uma equação algébrica simples; vamos resolvê-la passo a passo:
Multiplicando ambos os lados por x:
3x+10=5x.
Isolando x: subtraia 3x de ambos os lados:
10=2x.
Divida por 2:
x=5.

Passo 5

Verificação do domínio e substituição: precisamos garantir que x satisfaça x>0 e 3x+10>0.
  • Para x=5: x>0 é verdadeiro.
  • Calcule 3x+10 para x=5: 3\cdot5+10=15+10=25>0, também verdadeiro.
    Agora cheque na equação original (substituindo):
\log_{2}(3\cdot5+10)-\log_{2}5=\log_{2}25-\log_{2}5=\log_{2}\!\left(\frac{25}{5}\right)=\log_{2}5,
o que confirma que x=5 satisfaz a igualdade.

Resposta

x=5

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