Sob que condições em A e B é verdade que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta: Sob que condições em A e B é verdade que
. Isso está relacionado ao conteúdo de álgebra de matrizes, especificamente sobre inversos de matrizes. Para resolver, precisamos saber quando o inverso do produto de duas matrizes é igual ao produto dos inversos das matrizes, na mesma ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para duas matrizes
e
serem invertíveis, elas devem ser quadradas e ter determinante diferente de zero. Ou seja,
e
precisam ser invertíveis.
Passo 3
Sabemos que, em geral, o inverso do produto de duas matrizes segue a regra:
Note que a ordem dos inversos é invertida.
Passo 4
Queremos que
. Comparando com a regra geral, isso só é possível se:
Ou seja,
e
devem comutar, ou seja, a ordem em que multiplicamos não muda o resultado.
Passo 5
Se os inversos das matrizes comutam (
), então as matrizes originais também comutam:
Portanto,
e
precisam comutar.
Resposta
Para que
seja verdadeiro, as matrizes
e
devem ser invertíveis e comutar, ou seja,
.