Verifique o Teorema de Green para 
 , onde 
  é o quadrado com vértices em 
 , 
 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar o Teorema de Green para a integral de contorno 
 , onde 
  é um quadrado com vértices em 
 , 
 , 
  e 
 . Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de contorno a uma integral dupla sobre a região limitada por esse contorno.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções 
  e 
  na integral dada. A integral está na forma 
 , então aqui temos:
Passo 3
O Teorema de Green nos diz que:
onde 
  é a região dentro do contorno 
 .
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Agora, substituindo na expressão do Teorema de Green:
Passo 5
Agora, a integral dupla fica:
A integral 
  representa a área da região 
 .
Passo 6
Como 
  é um quadrado com lado de comprimento 2, a área é:
Então, a integral dupla fica:
Resposta
O valor da integral 
  é 8.