Resolva a equação |x-2|+|x+4|=1.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
|x - 2| + |x + 4| = 1
O conteúdo é de valor absoluto, e para resolver vamos usar a definição
|a| = a se a>=0 e |a|=-a se a<0, dividindo o domínio em intervalos onde cada expressão dentro dos módulos mantém sinal.

Passo 2

Os pontos em que as expressões mudam de sinal são x=2 e x=-4. Assim, separamos em três intervalos:
  1. x< -4
  2. -4 <= x <= 2
  3. x>2

Passo 3

No caso x< -4, temos x-2<0 e x+4<0. Logo
|x-2| = 2 - x, |x+4| = -,x - 4,
e a soma é
(2 - x) + (-x - 4) = -2x - 2
A equação fica
-2x - 2 = 1 Longrightarrow -2x = 3 Longrightarrow x = -tfrac32
Porém -tfrac32 > -4, não está em x< -4, então não vale neste intervalo.

Passo 4

No caso -4 <= x <= 2, temos x+4>=0 e x-2<=0. Assim
|x+4| = x + 4, |x-2| = 2 - x,
e a soma é
(x+4)+(2-x) = 6
A equação seria 6 = 1, o que é impossível. Logo não há solução neste intervalo.

Passo 5

No caso x>2, ambas as expressões são não negativas:
|x-2| = x-2, |x+4| = x+4,
e a soma é
(x-2)+(x+4) = 2x+2
A equação fica
2x + 2 = 1 Longrightarrow 2x = -1 Longrightarrow x = -tfrac12
Mas -tfrac12<2, não pertence a x>2, então também não serve.

Passo 6

Em nenhum dos três intervalos a equação tem solução compatível com as restrições de sinal.

Resposta

A equação não possui solução no conjunto dos números reais.

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