Resolva a equação para x.
|x+3|=|2 x+1|

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação com valor absoluto
\lvert x + 3\rvert \;=\;\lvert 2x + 1\rvert,
que é um problema de equações envolvendo valor absoluto. Para resolver, vamos usar a definição
\lvert A\rvert = \begin{cases} A, & A\ge 0,\\\\ -\,A, & A<0, \end{cases}
e analisar as regiões determinadas pelos pontos em que as expressões internas mudam de sinal.

Passo 2

Identificamos as raízes das expressões dentro dos valores absolutos:
x+3=0\quad\Rightarrow\quad x=-3,
2x+1=0\quad\Rightarrow\quad x=-\tfrac12.
Esses pontos dividem a reta real em três intervalos:
(-\infty,\,-3),\quad[-3,\,-\tfrac12),\quad[-\tfrac12,\,+\infty).

Passo 3

No intervalo x\ge -\tfrac12 temos x+3\ge 0 e 2x+1\ge0. Logo a equação fica
x+3 = 2x+1
e, ao isolar x,
x+3 = 2x+1 \;\Longrightarrow\; 3-1 = 2x - x \;\Longrightarrow\; x=2.
Como 2\ge -\tfrac12, esta solução é válida.

Passo 4

No intervalo -3\le x< -\tfrac12 temos x+3\ge0 mas 2x+1<0. A equação torna-se
x+3 = -\,(2x+1)
ou seja
x+3 = -2x -1 \;\Longrightarrow\; x + 2x = -1 -3 \;\Longrightarrow\; 3x = -4 \;\Longrightarrow\; x = -\tfrac{4}{3}.
Verificamos que -\tfrac{4}{3}\approx -1,33 está no intervalo [-3,\,-\tfrac12), logo é solução.

Passo 5

No intervalo x< -3 temos x+3<0 e 2x+1<0. A equação passa a ser
-\,(x+3) = -\,(2x+1)
que simplifica para
-x -3 = -2x -1 \;\Longrightarrow\; - x +2x = -1 +3 \;\Longrightarrow\; x = 2.
Como 2\not< -3, esta solução não vale neste intervalo e é rejeitada.

Resposta

As soluções da equação são
x = -\tfrac{4}{3} \quad\text{e}\quad x = 2.

Exercícios relacionados