Resolva a equação x^{2}+\overline{2} x+\overline{1}=\overline{0} nos conjuntos \mathbb{Z}_{8} e \mathbb{Z}_{9} caso seja possível.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a congruência x^2 + \overline{2}x + \overline{1} = \overline{0} nos anéis \mathbb{Z}_8 e \mathbb{Z}_9. O conteúdo aqui é resolução de equação quadrática modular, e vamos usar completar o quadrado e propriedades de divisibilidade em cada módulo.

Passo 2

Em \mathbb{Z}_8 observamos que
x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2.
Portanto precisamos de
(x+1)^2 \equiv 0 \pmod{8}.
Em aritmética modular um quadrado é múltiplo de 8 se e só se x+1\equiv 0 \pmod{4}. Logo
x \equiv -1 \pmod{4},
e em \mathbb{Z}_8 isso gera as classes \overline{3} e \overline{7}.

Passo 3

Em \mathbb{Z}_9 temos de novo
x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2,
e queremos
(x+1)^2 \equiv 0 \pmod{9}.
Uma vez que 9\mid (x+1)^2 é equivalente a 3\mid(x+1), concluímos
x \equiv -1 \pmod{3},
o que em \mathbb{Z}_9 corresponde às classes \overline{2}, \overline{5} e \overline{8}.

Resposta

Em \mathbb{Z}_8: \{\overline{3},\overline{7}\}.
Em \mathbb{Z}_9: \{\overline{2},\overline{5},\overline{8}\}.

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