Resolva o sistema de equações abaixo em \mathbb{Z}_{24} :
\left\{\begin{aligned} \overline{4} x+\overline{21} y & =\overline{-1} \\ \overline{2} x+\overline{4} y & =\overline{12} \end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede resolver em \mathbb{Z}_{24}\) o sistema \[\begin{cases} \overline{4}\,x + \overline{21}\,y = \overline{-1},\\\ \overline{2}\,x + \overline{4}\,y = \overline{12}. \end{cases}
O conteúdo aqui é solução de sistema linear em (\mathbb{Z}_{n}] usando eliminação de variáveis e inversos modulares.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever \overline{-1} como \overline{23} e multiplicar a segunda equação por \overline{2}, para igualar o coeficiente de x à primeira:
2\bigl(\overline{2}x + \overline{4}y = \overline{12}\bigr) \;\Longrightarrow\; \overline{4}\,x + \overline{8}\,y = \overline{24} = \overline{0}.

Passo 3

Subtraindo essa nova equação da primeira, eliminamos x:
(\overline{4}x + \overline{21}y) - (\overline{4}x + \overline{8}y) = \overline{13}\,y \equiv \overline{23} - \overline{0} = \overline{23}.
Logo,
\overline{13}\,y = \overline{23}\quad\text{em }\mathbb{Z}_{24}.

Passo 4

Como \gcd(13,24)=1, o inverso de \overline{13} é \overline{13} (pois 13\cdot13=169\equiv1\pmod{24}). Assim
y \equiv 13\cdot23 = 299 \equiv 11 \pmod{24},
ou seja \displaystyle y=\overline{11}.

Passo 5

Voltando à segunda equação original \overline{2}x+\overline{4}y=\overline{12} e substituindo y=\overline{11}:
\overline{2}\,x + \overline{4}\cdot\overline{11} = \overline{2}\,x + \overline{44} = \overline{2}\,x + \overline{20} \equiv \overline{12}.
Portanto
\overline{2}\,x \equiv \overline{12} - \overline{20} = \overline{-8} = \overline{16}.

Passo 6

Temos \overline{2}\,x=\overline{16}. Como \gcd(2,24)=2 divide \overline{16}, podemos “dividir” a congruência por \overline{2}, obtendo
x \equiv 8 \pmod{12}.
Em \mathbb{Z}_{24}, isso significa
x=\overline{8}\quad\text{ou}\quad x=\overline{8+12}=\overline{20}.

Resposta

As soluções em \mathbb{Z}_{24} são
(x,y) = (\overline{8},\,\overline{11}) \quad\text{ou}\quad (x,y) = (\overline{20},\,\overline{11}).

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