Determine a solução da equação exata 2 x y-\operatorname{sen} x+\left(x^{2}+e^{y}\right) \frac{d y}{d x}=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
2xy - \operatorname{sen} x + \bigl(x^2 + e^y\bigr)\,\frac{dy}{dx} = 0
que podemos escrever na forma
M(x,y) + N(x,y)\,\frac{dy}{dx} = 0
com
M(x,y) = 2xy - \operatorname{sen} x, \quad N(x,y) = x^2 + e^y.
O conteúdo aqui é equações diferenciais exatas: vamos verificar a exatidão e, em seguida, achar a função potencial \Phi(x,y) tal que \Phi_x=M e \Phi_y=N.

Passo 2

Verificamos a condição de exatidão:
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(2xy - \operatorname{sen} x) = 2x, \quad \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 + e^y) = 2x.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x} = M(x,y) = 2xy - \operatorname{sen} x.
Integramos isso em relação a x:
\Phi(x,y) = \int \bigl(2xy - \operatorname{sen} x\bigr)\,dx = \int 2xy\,dx \;-\; \int \operatorname{sen} x\,dx = x^2y + \cos x + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender só de y.

Passo 4

Agora impomos
\frac{\partial \Phi}{\partial y} = x^2 + h'(y)
e isso deve ser igual a N(x,y)=x^2 + e^y. Portanto
h'(y) = e^y \quad\Longrightarrow\quad h(y) = e^y + C_1.
Podemos absorver C_1 na constante final.

Passo 5

A função potencial fica
\Phi(x,y) = x^2y + \cos x + e^y.
A solução geral da equação exata é
\Phi(x,y) = C,
ou seja
x^2y + \cos x + e^y = C.

Resposta

x^2y + \cos x + e^y = C,
com C constante arbitrária.

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