Resolva a equação x y^prime prime+2 y^prime=6 x.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
x,y''(x) + 2,y'(x) = 6,x,
que é uma ODE de segunda ordem, mas que envolve apenas y' e y''. Vamos usar a técnica de reduzir a ordem definindo p(x)=y'(x), transformar em uma equação de primeira ordem em p e então integrar duas vezes para obter y.

Passo 2

Definindo
p(x) = y'(x),
temos
p'(x) = y''(x)
Substituindo na ODE original obtemos
x,p'(x) + 2,p(x) = 6,x,
que é uma equação linear de primeira ordem em p.

Passo 3

Para resolver
x,p'(x) + 2,p(x) = 6,x
colocamos na forma padrão
p'(x) + 2x,p(x) = 6
O fator integrante é
mu(x) = expl(integral tfrac2x,dxr) = expl(2ln|x|r) = x^2
Multiplicando a equação por mu(x)=x^2 fica
x^2,p'(x) + 2x,p(x) = 6x^2 Longrightarrow ddxl(x^2,p(x)r) = 6x^2

Passo 4

Integramos em x:
x^2,p(x) = integral 6x^2,dx = 2x^3 + C1,
onde C1 é constante de integração. Logo
p(x) = y'(x) = 2x^3 + C1x^2 = 2x + C1,x^-2

Passo 5

Agora integramos novamente para achar y(x):
y(x) = integral y'(x),dx = integral l(2x + C1,x^-2r),dx = x^2 - C1,x^-1 + C2,
onde C2 é nova constante de integração. Podemos renomear -C1 como outra constante (digamos C3), mas a forma geral é

Resposta

boxedy(x) = x^2 + C1,x^-1 + C2,
com C1 e C2 constantes arbitrárias.

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