Resolva a equação
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
que é uma ODE de segunda ordem, mas que envolve apenas
e
. Vamos usar a técnica de reduzir a ordem definindo
, transformar em uma equação de primeira ordem em
e então integrar duas vezes para obter
.
Passo 2
Definindo
temos
Substituindo na ODE original obtemos
que é uma equação linear de primeira ordem em
.
Passo 3
Para resolver
colocamos na forma padrão
O fator integrante é
Multiplicando a equação por
fica
Passo 4
Integramos em
:
onde
é constante de integração. Logo
Passo 5
Agora integramos novamente para achar
:
onde
é nova constante de integração. Podemos renomear
como outra constante (digamos
), mas a forma geral é
Resposta
com
e
constantes arbitrárias.