Resolva a equação:
1-x+x{2}-x{3}+x{4}-x{5}+\cdots=\frac{\sqrt{2}}{2} .

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + cdots = raiz22
Este é um caso de série geométrica infinita com primeiro termo a=1 e razão r=-x. Para somar, vamos lembrar a fórmula da soma de uma série geométrica infinita.

Passo 2

A soma de uma série geométrica infinita com a e razão r (onde |r|<1) é
sumk=0^infty a,r^k=a1-r
Aqui temos a=1 e r=-x, logo a série vale
sumk=0^infty(-x)^k=11-(-x)=11+x,
desde que |-x|<1, ou seja, |x|<1.

Passo 3

Substituindo na equação dada, obtemos
11+x = raiz22

Passo 4

Para encontrar x, invertemos ambos os lados:
1+x = 2raiz2 = raiz2,
portanto
x = raiz2 - 1

Passo 5

Faltou verificar o domínio de convergência |x|<1. Como raiz2-1approx0,414, está dentro de (-1,1), a solução é válida.

Resposta

x = raiz2 - 1

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