Resolva a equação:
1-x+x{2}-x{3}+x{4}-x{5}+\cdots=\frac{\sqrt{2}}{2} .
1-x+x{2}-x{3}+x{4}-x{5}+\cdots=\frac{\sqrt{2}}{2} .
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
Este é um caso de série geométrica infinita com primeiro termo
e razão
. Para somar, vamos lembrar a fórmula da soma de uma série geométrica infinita.
Passo 2
A soma de uma série geométrica infinita com
e razão
(onde
) é
Aqui temos
e
, logo a série vale
desde que
, ou seja,
.
Passo 3
Substituindo na equação dada, obtemos
Passo 4
Para encontrar
, invertemos ambos os lados:
portanto
Passo 5
Faltou verificar o domínio de convergência
. Como
, está dentro de
, a solução é válida.