Determine se, cada uma das seguintes séries, converge ou diverge. Se a série convergir, encontre sua soma.
Passo 1
Para começar, o enunciado pede pra gente determinar se a série converge ou diverge e, se ela convergir, achar a soma. A série é essa aqui:
Isso faz parte do conteúdo de séries numéricas, mais especificamente séries geométricas. Vamo precisar do critério de convergência pra série geométrica (que diz que ela converge se
) e da fórmula da soma
.
Passo 2
Uma dica legal é usar a linearidade de soma de séries. A gente pode separar essa parada em duas partes:
e
. Assim dá pra tratar cada uma como uma série geométrica.
Passo 3
Na primeira série, faz uma mudança de índice pra deixar no formato padrão de série geométrica. Se a gente define
, quando
temos
e quando
,
. Aí rola:
Isso é uma série geométrica com
e
. Como
, ela converge e a soma é
. Multiplicando por 10, dá 15.
Passo 4
Na segunda parte, a gente tem
Também é uma geométrica, com primeiro termo
e razão
. Como
, ela converge. Usando
vem:
Passo 5
Agora junta as duas partes: a parte 1 vale 15 e a parte 2 vale
. Somando, rola:
Resposta
A série converge e sua soma é
.