Determine se, cada uma das seguintes séries, converge ou diverge. Se a série convergir, encontre sua soma.
sumn=2^infty[103^n-2+(-27)^n]

Passo 1

Para começar, o enunciado pede pra gente determinar se a série converge ou diverge e, se ela convergir, achar a soma. A série é essa aqui:
sumn=2^infty[103^n-2+(-27)^n]
Isso faz parte do conteúdo de séries numéricas, mais especificamente séries geométricas. Vamo precisar do critério de convergência pra série geométrica (que diz que ela converge se |r|<1) e da fórmula da soma sumk=0^infty ar^k = a1-r.

Passo 2

Uma dica legal é usar a linearidade de soma de séries. A gente pode separar essa parada em duas partes: sumn=2^infty 103^n-2 e sumn=2^infty (-27)^n. Assim dá pra tratar cada uma como uma série geométrica.

Passo 3

Na primeira série, faz uma mudança de índice pra deixar no formato padrão de série geométrica. Se a gente define k = n - 2, quando n=2 temos k=0 e quando ntoinfty, ktoinfty. Aí rola:
sumn=2^infty 103^n-2 = 10 sumk=0^infty (13)^k
Isso é uma série geométrica com a=1 e r=tfrac13. Como |r|<1, ela converge e a soma é a1-r = 11-tfrac13 = tfrac32. Multiplicando por 10, dá 15.

Passo 4

Na segunda parte, a gente tem
sumn=2^infty (-27)^n
Também é uma geométrica, com primeiro termo a=(-tfrac27)^2=tfrac449 e razão r=-tfrac27. Como |r|=tfrac27<1, ela converge. Usando a1-r vem:
tfrac4491-(-tfrac27) = tfrac4491+tfrac27 = tfrac449tfrac97 = tfrac463

Passo 5

Agora junta as duas partes: a parte 1 vale 15 e a parte 2 vale tfrac463. Somando, rola:
15 + 463 = 94963

Resposta

A série converge e sua soma é 94963.

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