Resolva as equações.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- Há uma raiz quadrada
, então o radicando deve ser não negativo:
- A expressão à esquerda é
. Como , a soma é . Portanto o valor de que satisfaz a equação deve obedecer
- A condição
dá
- Combinando as duas restrições acima, qualquer solução real da equação tem que estar no intervalo
Passo 2
Isolamos a raiz para poder eliminar ela com uma operação segura (elevar ao quadrado). Subtraindo
de ambos os lados obtemos
Observação importante (controle de sinais): ao elevar ambos os lados ao quadrado é necessário que o membro da direita seja não negativo, pois o lado esquerdo é uma raiz quadrada e sempre
. A condição
é exatamente
, que já tínhamos anotado no Passo 1, então estamos consistentes.
Passo 3
Elevamos os dois lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Isso dá
Agora simplificamos: podemos somar
aos dois lados para cancelar os termos em
:
Subtraindo
dos dois lados:
Resolvendo a equação quadrática obtemos as possíveis raízes
Passo 4
Precisamos verificar quais dessas raízes são realmente soluções da equação original (porque ao elevar ao quadrado surgem às vezes raízes extranhas).
Verificação de
:
que coincide com o membro direito
. Portanto
é solução válida.
Verificação de
:
que não é igual a
. Portanto
é uma raiz extranea introduzida pela operação de elevar ao quadrado e deve ser rejeitada.
Também isso está de acordo com a restrição do Passo 1:
não pertence ao intervalo
, enquanto
pertence.
Passo 5
Conclusão: a única solução da equação, após eliminar a raiz e verificar extranos, é
. Boa! Lembre-se: sempre que elevar ao quadrado uma igualdade envolvendo raízes, é obrigatório verificar as raízes obtidas no enunciado original para eliminar extranos.