Resolva as equações.
3+\sqrt{45-6 x}=x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
3+\sqrt{45-6x}=x.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Há uma raiz quadrada \sqrt{45-6x}, então o radicando deve ser não negativo:
45-6x \ge 0.
  • A expressão à esquerda é 3+\sqrt{45-6x}. Como \sqrt{45-6x}\ge 0, a soma é \ge 3. Portanto o valor de x que satisfaz a equação deve obedecer
x \ge 3.
  • A condição 45-6x\ge 0
x \le \frac{45}{6} = 7,5.
  • Combinando as duas restrições acima, qualquer solução real da equação tem que estar no intervalo
3 \le x \le 7,5.

Passo 2

Isolamos a raiz para poder eliminar ela com uma operação segura (elevar ao quadrado). Subtraindo 3 de ambos os lados obtemos
\sqrt{45-6x}=x-3.
Observação importante (controle de sinais): ao elevar ambos os lados ao quadrado é necessário que o membro da direita seja não negativo, pois o lado esquerdo é uma raiz quadrada e sempre \ge 0. A condição x-3\ge 0 é exatamente x\ge 3, que já tínhamos anotado no Passo 1, então estamos consistentes.

Passo 3

Elevamos os dois lados ao quadrado para eliminar a raiz:
\left(\sqrt{45-6x}\right)^2 = (x-3)^2.
Isso dá
45-6x = x^2 -6x +9.
Agora simplificamos: podemos somar 6x aos dois lados para cancelar os termos em -6x:
45 = x^2 +9.
Subtraindo 9 dos dois lados:
x^2 = 36.
Resolvendo a equação quadrática obtemos as possíveis raízes
x = 6 \quad\text{ou}\quad x = -6.

Passo 4

Precisamos verificar quais dessas raízes são realmente soluções da equação original (porque ao elevar ao quadrado surgem às vezes raízes extranhas).
Verificação de x=6:
3+\sqrt{45-6\cdot 6}=3+\sqrt{45-36}=3+\sqrt{9}=3+3=6,
que coincide com o membro direito x=6. Portanto x=6 é solução válida.
Verificação de x=-6:
3+\sqrt{45-6\cdot(-6)}=3+\sqrt{45+36}=3+\sqrt{81}=3+9=12,
que não é igual a -6. Portanto x=-6 é uma raiz extranea introduzida pela operação de elevar ao quadrado e deve ser rejeitada.
Também isso está de acordo com a restrição do Passo 1: x=-6 não pertence ao intervalo [3,7,5], enquanto x=6 pertence.

Passo 5

Conclusão: a única solução da equação, após eliminar a raiz e verificar extranos, é x=6. Boa! Lembre-se: sempre que elevar ao quadrado uma igualdade envolvendo raízes, é obrigatório verificar as raízes obtidas no enunciado original para eliminar extranos.

Resposta

x=6

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