Resolva as equações abaixo, identificando-as primeiro e, no caso em que as condições iniciais forem dadas, encontre a solução particular:
R.
R.
Passo 1
Temos a equação diferencial y²
dx + (x
y + 1)
dy = 0, que é uma EDO de primeira ordem. Vamos precisar verificar se ela é exata e, se não for, encontrar um fator integrante para torná-la exata.
Passo 2
Definimos M(x,y) = y² e N(x,y) = x
y + 1. Calculamos as derivadas parciais: ∂M/∂y = 2y e ∂N/∂x = y. Como 2y ≠ y, a equação não é exata.
Passo 3
Buscamos um fator integrante μ dependente só de y. Usamos a condição
Aqui temos
logo μ(y) = \exp\bigl(\int -1/y ,dy\bigr) = y^{-1}.
Passo 4
Multiplicando a equação original por μ(y)=1/y obtemos a nova equação:
Passo 5
Construímos a função potencial ψ(x,y) tal que ψ_x = M̃ = y. Integrando em x:
Passo 6
Derivando ψ em relação a y e igualando a Ñ:
Passo 7
Portanto, a função potencial é ψ(x,y)=x
y + ln
y, e a solução geral vem de ψ(x,y)=k.