Resolva as equações abaixo, identificando-as primeiro e, no caso em que as condições iniciais forem dadas, encontre a solução particular:

R.

Passo 1

Temos a equação diferencial y²
dx + (x
y + 1)
dy = 0, que é uma EDO de primeira ordem. Vamos precisar verificar se ela é exata e, se não for, encontrar um fator integrante para torná-la exata.

Passo 2

Definimos M(x,y) = y² e N(x,y) = x
y + 1. Calculamos as derivadas parciais: ∂M/∂y = 2y e ∂N/∂x = y. Como 2y ≠ y, a equação não é exata.

Passo 3

Buscamos um fator integrante μ dependente só de y. Usamos a condição partial N/partial x - partial M/partial yM = g(y)Aqui temos y - 2yy² = -1y = g(y),²logo μ(y) = \exp\bigl(\int -1/y ,dy\bigr) = y^{-1}.

Passo 4

Multiplicando a equação original por μ(y)=1/y obtemos a nova equação:
y,dx + l(x + 1yr),dy = 0,que agora é exata, pois as novas M̃=y e Ñ=x+1/y satisfazem ∂M̃/∂y=1 e ∂Ñ/∂x=1.

Passo 5

Construímos a função potencial ψ(x,y) tal que ψ_x = M̃ = y. Integrando em x:
ψ(x,y) = integral y,dx = x,y + h(y)

Passo 6

Derivando ψ em relação a y e igualando a Ñ:
ψy = x + h'(y) = x + 1y implies h'(y) = 1y implies h(y) = ln y

Passo 7

Portanto, a função potencial é ψ(x,y)=x
y + ln
y, e a solução geral vem de ψ(x,y)=k.

Resposta

x,y + ln y = k

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