Determine a solução da EDOs/PVIs a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A equação é:
com $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = -1 $, onde a função $ f(t) $ muda dependendo do valor de $ t $:
Vamos precisar usar métodos para resolver equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e função de força $ f(t) $. Além disso, vamos aplicar o método dos coeficientes indeterminados para encontrar soluções particulares e usar as condições iniciais para determinar as constantes da solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, sem o termo $ f(t) $:
Para resolver isso, encontramos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática:
Obtemos uma raiz dupla $ r = 2 $. Quando temos raízes reais e iguais, a solução geral da equação homogênea é:
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular $ y_p(t) $ para a equação completa com $ f(t) $. Como $ f(t) $ é uma função por partes, vamos considerar duas etapas: quando $ 0 \leq t < 2 $ e quando $ t \geq 2 $.
Para $ 0 \leq t < 2 $:
Aqui, $ f(t) = e^{2t} $. Observando que $ e^{2t} $ já é parte da solução homogênea, precisamos multiplicar por $ t $ para encontrar a solução particular. Tentamos:
Calculamos as derivadas:
Substituímos na equação diferencial:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular para $ 0 \leq t < 2 $ é:
Passo 4
Para $ t \geq 2 $:
Aqui, $ f(t) = e^{-2t} $. Como $ e^{-2t} $ não está na solução homogênea, podemos tentar uma solução particular da forma:
Calculamos as derivadas:
Substituímos na equação diferencial:
Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular para $ t \geq 2 $ é:
Passo 5
Agora, juntamos as soluções homogênea e particular para cada intervalo de $ t $:
Para $ 0 \leq t < 2 $:
Para $ t \geq 2 $:
Agora, precisamos garantir que a solução seja contínua e diferenciável em $ t = 2 $, além de atender às condições iniciais.
Passo 6
Aplicamos as condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = -1 $.
Aplicando $ y(0) = 0 $:
Na solução para $ 0 \leq t < 2 $:
Então, $ C_1 = 0 $.
Aplicando $ y’(0) = -1 $:
Primeiro, calculamos a derivada de $ y(t) $ para $ 0 \leq t < 2 $:
Avaliado em $ t = 0 $:
Então, a solução para $ 0 \leq t < 2 $ fica:
Passo 7
Agora, precisamos garantir a continuidade e diferenciabilidade em $ t = 2 $.
Igualamos $ y(t) $ e $ y’(t) $ para os dois intervalos em $ t = 2 $.
Para $ t < 2 $:
Para $ t \geq 2 $:
Igualando $ y(2) $:
Igualando $ y’(2) $:
Substituindo $ C_4 $ na primeira equação:
Passo 8
Finalmente, substituímos $ C_3 $ e $ C_4 $ na solução para $ t \geq 2 $:
Resposta
A solução da equação diferencial dada é: