Determine a solução da EDOs/PVIs a seguir:
y^prime prime-4 y^prime+4 y=f(t), com y(0)=0, y^prime(0)=-1 e

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A equação é:
y'' - 4 y' + 4 y = f(t)
com $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = -1 $, onde a função $ f(t) $ muda dependendo do valor de $ t $:
y(0) = 0
Vamos precisar usar métodos para resolver equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e função de força $ f(t) $. Além disso, vamos aplicar o método dos coeficientes indeterminados para encontrar soluções particulares e usar as condições iniciais para determinar as constantes da solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, sem o termo $ f(t) $:
f(t)
Para resolver isso, encontramos a equação característica:
y'' - 4 y' + 4 y = 0
Resolvendo essa equação quadrática:
r^2 - 4r + 4 = 0
Obtemos uma raiz dupla $ r = 2 $. Quando temos raízes reais e iguais, a solução geral da equação homogênea é:
r = 4 pm raiz16 - 162 = 4 pm 02 = 2
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular $ y_p(t) $ para a equação completa com $ f(t) $. Como $ f(t) $ é uma função por partes, vamos considerar duas etapas: quando $ 0 \leq t < 2 $ e quando $ t \geq 2 $.

Para $ 0 \leq t < 2 $:

Aqui, $ f(t) = e^{2t} $. Observando que $ e^{2t} $ já é parte da solução homogênea, precisamos multiplicar por $ t $ para encontrar a solução particular. Tentamos:
yp(t)
Calculamos as derivadas:
f(t)
f(t)
Substituímos na equação diferencial:
0 <= t < 2
Simplificando:
t >= 2
0 <= t < 2
Igualando os coeficientes:
f(t) = e^2t
Então, a solução particular para $ 0 \leq t < 2 $ é:
e^2t

Passo 4

Para $ t \geq 2 $:

Aqui, $ f(t) = e^{-2t} $. Como $ e^{-2t} $ não está na solução homogênea, podemos tentar uma solução particular da forma:
t >= 2
Calculamos as derivadas:
f(t) = e^-2t
e^-2t
Substituímos na equação diferencial:
yp(t) = B e^-2t
yp' = -2B e^-2t
yp'' = 4B e^-2t
Igualando os coeficientes:
4B e^-2t - 4(-2B e^-2t) + 4B e^-2t = e^-2t
Então, a solução particular para $ t \geq 2 $ é:
4B e^-2t + 8B e^-2t + 4B e^-2t = e^-2t

Passo 5

Agora, juntamos as soluções homogênea e particular para cada intervalo de $ t $:

Para $ 0 \leq t < 2 $:

t
0 <= t < 2

Para $ t \geq 2 $:

y(t) = yh(t) + yp(t) = (C1 + C2 t) e^2t - 12 t e^2t
Agora, precisamos garantir que a solução seja contínua e diferenciável em $ t = 2 $, além de atender às condições iniciais.

Passo 6

Aplicamos as condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = -1 $.

Aplicando $ y(0) = 0 $:

Na solução para $ 0 \leq t < 2 $:
y(0) = 0
Então, $ C_1 = 0 $.

Aplicando $ y’(0) = -1 $:

Primeiro, calculamos a derivada de $ y(t) $ para $ 0 \leq t < 2 $:
y'(0) = -1
y(0) = 0
Avaliado em $ t = 0 $:
0 <= t < 2
y(0) = (C1 + (C2 - 12) cdot 0) e^0 = C1 = 0
Então, a solução para $ 0 \leq t < 2 $ fica:
C1 = 0

Passo 7

Agora, precisamos garantir a continuidade e diferenciabilidade em $ t = 2 $.
Igualamos $ y(t) $ e $ y’(t) $ para os dois intervalos em $ t = 2 $.

Para $ t < 2 $:

t = 2
y(t)

Para $ t \geq 2 $:

y'(t)
t = 2
Igualando $ y(2) $:
t < 2
y(2) = -2 e^4
Igualando $ y’(2) $:
y'(2) = -e^4 - 4 cdot 2 e^4 = -e^4 - 8 e^4 = -9 e^4
t >= 2
y(2) = (C3 + C4 cdot 2) e^4 + 116 e^-4
Substituindo $ C_4 $ na primeira equação:
y'(2) = (C4 + 2 C4) e^4 - 18 e^-4 = 3 C4 e^4 - 18 e^-4
y(2)
(C3 + 2 C4) e^4 + 116 e^-4 = -2 e^4
C3 + 2 C4 = -2 - 116 e^-8
y'(2)

Passo 8

Finalmente, substituímos $ C_3 $ e $ C_4 $ na solução para $ t \geq 2 $:
C3

Resposta

A solução da equação diferencial dada é:
y(t) = - t e^2t, & se 0 <= t < 2 (4 - 748 e^-8) e^2t + (-3 + 124 e^-8) t e^2t + 116 e^-2t, & se t >= 2

Exercícios relacionados